9.1 成比例线段 课堂随练 2025--2026学年鲁教版八年级数学下册

第九章图形的相似 1 成比例线段 第1课时 成比例线段(1) 列清单·划重点 知识点① 两条线段的比 如果选用 长度单位量得两条线段 AB，CD 的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们 的比，即AB:CD=m:n,或写成 其中，线段 AB，CD 分别叫做这个线段比的 和 . 如果把m/n表示成比值k，那么 ,或AB= ·CD.两条线段的比实际上就是两个 的比. 注意 (1)求两条线段的比时，两条线段的长度单位要统一.长度单位不统一时，要先化成同一长度单位； (2)两条线段的比是指两条线段长度的比，是关于线段比值的运算结果，是一个没有单位的正实数； (3)两条线段的比具有顺序性，不能随意更换前项和后项. 知识点② 比例尺 在地图或工程图纸上， 与它所表示 的比通常称为比例尺. 即比例尺=图上长度. 比例尺通常写成前项为1的比，即1：a 的形式，表示图上长度为1时，实际长度为a，1和a 的长度单位是统一的. 知识点③ 成比例线段 1.成比例线段 四条线段a,b,c,d 中,如果 a 与b 的 等于 c 与 d 的 ,即 (或a:b=c:d),那么这四条线段a,b,c,d叫做 ，简称比例线段. 两条线段的比实际上就是两个数的比；四条线段成比例实际上就是四个数成比例. 2.比例的项 在比例 (或a:b=c:d)中,a,b,c，d叫做这个比例的项，a，d叫做比例的 ,b,c 叫做比例的 . 当比例的两个内项 时，即 (或a:b=b:c),b叫做a 和c的 .注意 成比例线段是有顺序的，如a，b，c，d是成比例线段，则a：b=c：d，不能写成其他形式. 明考点·识方法 考点① 两条线段的比 典例 1 如图所示,在 Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,若 AC=5cm ,BC=13 cm. (1)求 的值；(2)求 的值. 思路导析(1)在 Rt△ABC 中,已知AC 和BC,利用勾股定理可求出另一条直角边 AB 的长，进而求出 的值；(2)利用三角形的面积公式，可求出斜边上的高AD，进而求出 的值. 变式1(1)等腰直角三角形底边上的高与腰长的比是 ； (2)等边三角形的高与它的边长之比是 变式2 如果一个矩形的两条对角线的夹角是 60°，那么这个矩形的短边与长边的比是 变式3 分类讨论[2024·北碚区期末]已知线段AB,延长AB 至点C,使得BC=2AB,点 D 是线段 AC 上一点，且 则 的值为 . 考点② 成比例线段 典例2 已知四条线段 a，b，c，d的长度如下： (1)a=8cm,b=4 cm,c=2.5cm ,d=5cm ，试判断它们是否是成比例线段； (2)a=8cm,b=0.05 dm,c=0.6 cm,d=10 cm，试判断它们是否是成比例线段. 思路导析判断四条线段是否成比例，关键是看是否有两条线段之比等于另外两条线段之比. 变式1 下列各组中的四条线段成比例的是 ( ) A. a=1,b=3,c=2,d=4 B. a=4,b=6,c=5,d=10 C. a=2,b=4,c=3,d=6 D. a=2,b=4,c=6,d=8 变式2有2,3,6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是 ( ) A.1 B.4 C.9 D.12 变式3 已知2是 x的比例中项，那么x= . 考点③ 比例尺的应用 典例3 在比例尺是1：100的地图上量得长方形菜地的长是10 cm，宽是8cm，这个长方形菜地的实际占地面积是 （ ） A. B. C. D. 思路导析根据比例尺由图上距离求出实际距离，进而求出实际面积即可. 变式1 小颖在一幅比例尺为1：5 000 000的地图上量得桂林到南宁的距离为8厘米，则桂林到南宁的实际距离是 千米. 变式2 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”(如图所示)，山上有三处观景台 A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设 A，B两地的实际直线距离为m，B，C两地的实际直线距离为n，则m的值为 . 第2课时 成比例线段(2) 列清单·划重点 知识点① 比例的基本性质 如果 那么 . 如果 ad= bc(a,b,c,d 都不等于0),那么 知识点② 比例的合比性质 如果 那么 . 知识点③ 比例的等比性质 如果 0),那么 明考点·识方法 考点① 比例的基本性质 典例1 已知 则下列式子不成立的是 ( ) A.5x=3y B.3x=5y C. D. 思路导析根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断. 变式 若 3y=2x(xy≠0),则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 考点② 比例的合比性质 典例2已知 则 的值为 ( ) A. B. C. D. 思路导析利用比例的合比性质，可以直接得到答案；也可以用这一性质的证明方法求解. 变式 若 则 的值是 ( ) A. B. C. D. 考点③ 比例的等比性质 典例3 已知 若b+d+f=9,则a+c+e= ( ) A.12 B.15 C.16 D.4 思路导析利用比例的等比性质直接求解. 变式 已知： 若 a-c+2e-3g≠0,求 考点④ 比例的性质综合应用 典例4 已知a,b,c,d为四个不为0的数. (1)如果 求与的值 (2)如果 求证： (3)如果 求证： 思路导析(1)先根据已知条件得到 1=4,a=3b,再把a=3b代入 中进行求解即可;(2)设 则a= kb,c= kd,再分别计算出 和 的值即可证明结论； (3)求出 bc= ad,进而可得 第1课时 成比例线段(1) 【列清单·划重点】 知识点1 同一个 长度 前项 后项 kk 数 知识点2 图上长度 实际长度 知识点3 1.比比 成比例线段 2.外项 内项 相等 比例中项 【明考点·识方法】 典例1 解：(1)由勾股定理，得 (2)∵△ABC 的面积 ∴AB·AC=BC·AD, 即12×5=13AD, 解得 变式1(1)1: (2) :2 变式21: 变式36或2 典例2 解：(1)四条线段由小到大的顺序是 c，b，d, a, ∵c:b=2.5:4=5:8,d:a=5:8, ∴c,b,d,a 是成比例线段; (2)四条线段的长度化成同一单位后，由小到大的顺序是b,c,a,d,则有b:c=0.5:0.6=5:6,a:d=8:10=4:5,所以b:c≠c:d,同理b:a≠c: d,b: d≠c:a,所以四条线段b，c，a，d不是成比例线段. 变式1 C 变式2D 变式3 6 典例3 A 变式1 400 变式2 2 第2课时成比例线段(2) 【列清单·划重点】 知识点1ad= bc 知识点2 知识点3 a/b 【明考点·识方法】 典例1 B变式C 典例2B变式C 典例3A 变式 典例4 解： (2)证明:设 则.a= kb,c= kd, (3)证明: ,∴ab+ bc= ab+ ad, 学科网（北京）股份有限公司 $