精品解析：黑龙江牡丹江市第二高级中学2025-2026学年第二学期高二数学测试数学试题

牡丹江二中2025-2026学年度第二学期高二数学学科测试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（ ） A. B. C. D. 2. 现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（ ） A. 504种 B. 126种 C. 84种 D. 56种 3. 计算的值是（ ） A. 48 B. 76 C. 148 D. 176 4. 甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设“从甲箱中取出的球是红球”，“从乙箱中取出的两球都是红球”，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 6. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A. 560 B. 2735 C. 1136 D. 480 7. 近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往大觉山”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 540 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（ ） A. 此件产品是次品的概率为0.02 B. 此件产品是次品的概率为0.025 C. 此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D. 此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 10. 设，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 中最大的是 D. 当时，除以2000的余数是1 11. 已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（ ） A. 若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B. 若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C. 若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D. 若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种． 13. 设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 14. 如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有________种不同的涂色方式. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解关于x的方程： （1）； （2）． 16. 盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 17. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各有1名，现要从这10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）至少有1名主任参加； （2）既有主任，又有外科医生． 18. 袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： （1）第二次摸到红球的概率； （2）已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 19. 已知的展开式中所有项的系数之和为729． （1）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （2）求的展开式中的系数．（结果用数字表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2025-2026学年度第二学期高二数学学科测试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随机变量的分布列是 1 2 3 P 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由表可得，故, 故选：C 2. 现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（ ） A. 504种 B. 126种 C. 84种 D. 56种 【答案】D 【解析】 【分析】根据隔板法，求出不同的分配方法. 【详解】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种. 故选：D 3. 计算的值是（ ） A. 48 B. 76 C. 148 D. 176 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的计算公式得到答案. 【详解】. 故选：B 4. 甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设“从甲箱中取出的球是红球”，“从乙箱中取出的两球都是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式求，再利用条件概率公式或贝叶斯公式求解即可. 【详解】由题意得：， 根据全概率公式可得：， 所以， 故选：C 5. 的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则， 故常数项为. 故选：C 6. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ） A. 560 B. 2735 C. 1136 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：运用分类加法计数原理，结合组合的定义进行求解即可. 方法二：运用间接法，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】方法一： 将“至少有1个一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”． 由分类加法计数原理，得不同取法有（种）． 方法二：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种）， 故选：C 7. 近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往大觉山”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对立事件的概率公式求出事件发生的概率，再分两种情况求出事件发生的概率，利用条件概率公式求解即可. 【详解】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为种， “甲和乙至少有一个人前往大觉山”的对立事件是“甲和乙都不前往大觉山”， 甲不选大觉山有5种选法，乙不选大觉山也有5种选法， 所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为种， 则， “甲和乙至少有一个人前往大觉山且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况： （1）甲去大觉山，乙不去， 甲去大觉山有1种选法，乙从除大觉山外的5个景点选有5种选法， 共种情况； （2）乙去大觉山，甲不去， 乙去大觉山有1种选法，甲从除大觉山外的5个景点选有5种选法， 共种情况， 所以， 所以. 故选：B. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 540 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解. 【详解】表示个因数的乘积. 而为展开式中的系数， 设这个因数中分别取、、这三项分别取个， 所以， 若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表： 个 个 个 0 5 0 1 3 1 2 1 2 由上表可知. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（ ） A. 此件产品是次品的概率为0.02 B. 此件产品是次品的概率为0.025 C. 此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D. 此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及全概率公式计算判断. 【详解】对于AB，该产品是次品的概率为， A错误，B正确； 对于C，此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率， 来自于乙车间的概率，则，C错误； 对于D，此件产品是次品的情况下，来自于丙车间的概率，D正确. 故选：BD 10. 设，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 中最大的是 D. 当时，除以2000的余数是1 【答案】ABD 【解析】 【分析】A赋值法求即可；B由，写出展开式通项，求；C：由B求得，与比较大小；D将代入右式，并确定、的值，即可. 【详解】A：令，，正确； B：由，则展开式通项为，故，，所以，正确； C：由B知：，显然比大，错误； D：时，，而，，即可知除以2000的余数是1，正确. 故选：ABD 11. 已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（ ） A. 若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B. 若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C. 若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D. 若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用组合数运算计算判断A，B，分类计算判定C，不平均分组分类结合排列和组合数计算判断D. 【详解】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)， 对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有种选派方法，A选项正确； 对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有种选派方法，B选项正确； 对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为种，不满足‘既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类： ①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有种方法； ②没有女队员：从4名男队员中选4人，有种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为种，C选项错误； 对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有种选派方法，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解． 【详解】易知每个人都有种选法，故不同的选法有种． 故答案为：． 13. 设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1， 即， 则， 则， ∴， 故答案为：. 14. 如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有________种不同的涂色方式. 【答案】120 【解析】 【分析】利用分类和分步计数原理，即可求解. 【详解】当陕西和贵州相同，陕西和贵州4种颜色，重庆3种颜色，四川有2种颜色，湖北有2种颜色，湖南有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州相同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州和湖北有2种颜色，湖南有2种颜色，四川有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州不同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州有2种颜色，湖北有1种颜色，湖南有1种颜色，四川有1种则共有种方法， 综上可知有种方法. 故答案为：120 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解关于x的方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式求解即可； （2）利用组合数公式求解即可． 【小问1详解】 由排列数公式，可得， 化简得， 解得或或或． 又因为x要满足，且， 所以原方程的解为． 【小问2详解】 由条件，结合组合数的性质，可得或， 则或 （舍去） 又因为， 可得， 即， 把代入上式，解得． 16. 盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】（1） （2） X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列. 【小问1详解】 记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 17. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各有1名，现要从这10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）至少有1名主任参加； （2）既有主任，又有外科医生． 【答案】（1）196 （2）191 【解析】 【分析】（1）可以用直接法和间接法求解. （2）根据外科主任是否当选分类讨论. 【小问1详解】 方法— 分两类： 一是选1名主任有种方法； 二是选2名主任有种方法． 故至少有1名主任参加的选派方法共有（种）． 方法二 从10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，共有种选法， 没有主任参加的选法有种， 所以至少有1名主任参加的选派方法有（种）． 【小问2详解】 若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法； 若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法（也可用直接法：）． 故既有主任，又有外科医生的选派方法种数为． 18. 袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： （1）第二次摸到红球的概率； （2）已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【小问1详解】 设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． 【小问2详解】 由贝叶斯公式有． 19. 已知的展开式中所有项的系数之和为729． （1）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （2）求的展开式中的系数．（结果用数字表示） 【答案】（1）240 （2）140 【解析】 【分析】（1）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可. （2）根据二项式定理求出所求项的系数. 【小问1详解】 由展开式所有项系数之和为729，令可得，解得， 的展开式的通项. 设第项的系数最大， 则整理得 解得，所以， 所以展开式中各项系数的最大值为. 【小问2详解】 中没有项， 的展开式中的系数为的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， 所以的系数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $