黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

高二年级·数学·试题 第 1 页 共 5 页 牡丹江二中 2024—2025学年度第二学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上 。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题 卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．． ,．在试题卷．．．．、．草稿纸上作答．．．．．． 无效．．。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件 A  “第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件 B  “第 二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A．A与 B互为对立事件 B．A与 B互斥 C．    P A P B D． A B 2．关于下列命题，其中不正确．．．的是（ ） A．若 ( ) 2E X  ，则 (2 1) 5E X   B．若 ( ) 3D X  ，则 (2 1) 12D X   C．已知随机变量 1~ 4, 2 X B     ，则 ( ) 2E X  ， ( ) 1D X  D．已知随机变量 1~ 4, 2 N      ，若 1( 6) 5 P    ，则 3(4 6) 5 P    3．已知函数   lnxf x x a   ，曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线与直线 2 0x y  平行，则 实数 a的值为（ ） A．1 B． 1 4  C． 12 D． 1 2  4．设A， B为同一个随机试验中的两个事件，若 1( ) 5 P A  ， 1( ) 2 P B  ， 3( ) 5 P A B  ，则 ( )P A B （ ） A． 1 5 B． 12 C． 2 5 D． 1 10 高二年级·数学·试题 第 2 页 共 5 页 5．已知函数     2 13 1 ln 2 f x f x x x     ，则  1f  （ ） A．2 B． 12 C． 1 4 D． 1 2  6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼 状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．互联网行业中从事运营岗位的人数 90后比 80前多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20% C．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比 80后多 D．互联网行业从业人员中 90后占一半以上 7．甲､乙､丙､丁 4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每 个足球场至少分配 1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有 （ ） A．36种 B．30种 C．42种 D．56种 8．已知定义域为实数集R 的函数    ,f x g x ，导数均存在，且记为    ,f x g x  ，满足    2 2f g ，        f x g x g x f x    对 xR 恒成立，则下列结论一定成立的是（ ） A．        1 3 3 1f g f g   B．        1 3 3 1f g f g   C．        1 3 3 1f g f g   D．        1 3 3 1f g f g   高二年级·数学·试题 第 3 页 共 5 页 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分。 9．下列关于 101 2x x      的二项展开式，说法正确的是（ ） A．展开式共有 10项 B．展开式的二项式系数之和为 1024 C．展开式的常数项为 8064 D．展开式的第 6项的二项式系数最大 10．下列结论正确的是（ ） A．数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的 70%分位数是 23 B．随机变量 X服从二项分布 1~ 3, 2 X B     ， 2 1Y X  ，则   3D Y  C．一组样本数据 1 2 20, , ,x x x   的方差       2 2 22 1 2 20 1 3 3 3 20 s x x x         ，则这组 样本数据的总和为 60 D．将总体划分为 2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 1x ， 2x 和 2 1s ， 2 2s ，若 1 2x x ，则总体方差  2 2 21 212s s s  11．已知函数 3 2( )f x x ax x b    ，则下列说法正确的是（ ） A．对任意的实数 ,a b，函数 ( )f x 恒有两个极值点 B．设 1 2,x x 为 ( )f x 的极值点，则 2 1| | 3x x  C．当 1a  时，若 ( )f x 在 ( 2, )m 上有最大值，则 1 1m   D．若 ( ) (2 ) 2 6f x f x b    ，则 3a  三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．用两个 1，两个 3，一个 5组成的不同的五位数有 个. 13．若     6 21 0ax x x a x         的展开式中的常数项为 0，则 a  . 14．已知直线 1y kx  既是函数 lny x x  的切线也是二次函数 2 (2 3) 1y ax a x    的切 线，则 a  . 高二年级·数学·试题 第 4 页 共 5 页 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。 15(13分).盒中有标记数字 1，2的小球各 3个，标记数字 3的小球 2个，随机一次取出 3个小 球. (1)求取出的 3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的 3个小球上的最大数字为 X ，求 X 的分布列； 16（15分）．某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服 务客户，统计了 2024年 1月至 5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份 x 1 2 3 4 5 不满意的人数 y 120 105 100 95 80 (1)通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数 y与月份 x之间存在线性相关关系， 求 y关于 x的经验回归方程，并预测 2024年 8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； (2)工作人员从这 5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查 100人，调查满意度与性别的 关系，得到下表，依据 01.0 的独立性检验，能否认为满意度与性别有关? 附：经验回归方程为 ˆˆ ˆy bx a  ，其中 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ˆ ˆˆ n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx                        ． 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    ． 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 高二年级·数学·试题 第 5 页 共 5 页 2( )P   0.1 0.05 0.01 0.005 0.001  2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17（15分）．《哪吒 2：魔童闹海》作为 2025年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火 爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的 音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录 制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6 : 7 : 5， 音乐片段可用率（能被采用的片段数占录制片段总数的比例）分别为 0.8，0.6，0.6．现在 从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的， 用频率估计概率． (1)若只取 1个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率； (2)若抽取 2个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为 X ，求 X 的分布列和数学 期望； (3)假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为 0.65，计算此次《哪吒 2：魔童闹海》电影 原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率． 18（17分）.已知函数 2 1( ) ln ( 1) 2 f x ax x a x    ， Ra ． (1)当 0a  时，讨论 ( )f x 的单调性； (2)当 0a  时，设 ( )( ) f xg x x  ，若 ( )g x 既有极大值又有极小值，求 a的取值范围． 19 (17分）．已知函数     ln 1 .f x ax x a   R (1)若   0f x  恒成立，求 a的值； (2)若  f x 有两个不同的零点 1 2,x x ，且 2 1 e 1x x   ，求 a的取值范围. 高二月考数学答案 1---8CDDABCBA 9BD 10BC 11AC 12 30 13 -4/3 14 1/2 15 【详解】（1）记“取出的 3个小球上的数字互不相同”为事件M ， 所以   1 1 1 3 3 2 3 8 C C C 9 C 28 P M   . （2）由题意可知， X 的可取值为1, 2,3 所以   3 3 3 8 C 11 C 56 P X    ，   1 2 2 1 3 3 3 3 3 3 3 8 C C C C C 192 C 56 P X     ，   1 2 2 1 2 6 2 6 3 8 C C C C 36 93 C 56 14 P X     ， 所以 X 的分布列为： X 1 2 3 P 1 56 19 56 9 14 16 【详解】（1）由表中的数据知， 1 2 3 4 5 3 5 x      ， 120 105 100 95 80 100 5 y      ， 5 1 1 120 2 105 3 100 4 95 5 80 1410i i i x y             ， 5 2 1 55i i x   ， 5 1 5 2 2 1 5 1410 5 3 100ˆ 9 55 455 i i i i i x y x y b x x              ， ˆ 100 ( 9) 3 127a      ， 不满意人数 y与月份 x之间的经验回归方程为 ˆ 9 127  y x ， 当 x＝8时， ˆ 9 8 127 55y      ， 所以预测 2024年 8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为 55. （2）零假设 0H ：服务满意度与性别无关， 由表中的数据得 2 2 100 (48 18 22 12) 50 7.143 6.635 60 40 70 30 7             ， 所以认为满意度与性别有关. 17 【详解】（1）由题意知，每个音乐片段被抽到的可能是相同的． 因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6 : 7 : 5， 所以若只取 1个音乐片段，它是由乙工作室录制的概率为 7 7 6 7 5 18 P     ； （2）设事件 , ,A B C 分别表示随机抽取的 1个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的， 若只取 1个音乐片段，则   6 1 6 7 5 3 P A     ， 所以由乙或丙工作室录制的概率为     21 3 P A P A   ． 依题意可知， X 的可能取值为 0，1，2，且 12, 3 X B       ． 所以   0 2 0 2 1 2 40 C 3 3 9 P X                ，   12 1 2 41 C 3 3 9 P X      ，   2 0 2 2 1 2 12 C 3 3 9 P X                ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 4 9 4 9 1 9 数学期望   4 4 1 20 1 2 9 9 9 3 E X        ； （3）设事件D表示音乐片段被录用，由（1）（2）知    7 5, 18 18 P B P C  ． 所以      0.8, 0.6, 0.6P D A P D B P D C  ∣ ∣ ∣ ． 又          P D P AD BD CD P AD P BD P CD                 P A P D A P B P D B P C P D C  ∣ ∣ ∣ 1 7 5 20.8 0.6 0.6 0.67 3 18 18 3         ， 即《哪吒 2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率约为 0.67． 又0.67 0.65 ，所以此次音乐片段的可用率高于以往平均可用率. 18 【详解】（1）当 0a  时， ( )f x 的定义域为 (0, ) ，   1 ( 1)( 1)( 1) ax xf x ax a x x        ， 当 1a  时，   2( 1) 0xf x x    恒成立， ( )f x 在 (0, ) 上为增函数； 当 1a  时， 10 1 a   ，   1 ( 1)a x x af x x        ， 当 10 x a   或 1x  时，�' � > 0，当 1 1x a   时，�' � < 0， 所以 ( )f x 的单调递增区间为 10, a       ， (1, ) ，单调递减区间为 1 ,1 a       ， 当0 1a  时， 1 1 a  ，当0 1x  或 1x a  时，�' � > 0，当 11 x a   时，�' � < 0， 所以 ( )f x 的单调递增区间为(0,1)， 1 , a      ，单调递减区间为 11, a       ． 综上所述，当 1a  时， ( )f x 在 (0, ) 上为增函数； 当 1a  时， ( )f x 的单调递增区间为 10, a       ， (1, ) ，单调递减区间为 1 ,1 a       ， 当0 1a  时， ( )f x 的单调递增区间为(0,1)， 1 , a      ，单调递减区间为 11, a       ， （2）因为 ( ) 1 ln( ) ( 1) 2 f x xg x ax a x x      ，所以   2 1 1 ln 2 xg x a x    ， 若 ( )g x 既有极大值又有极小值，则  g x 至少存在两个变号零点， 即 2 ln 1 1 2 x a x   至少有两个不同实数根， 记 2 ln 1( ) xh x x   ，则 3 3 2ln( ) xh x x   ， 当 3 20 ex  时， ( ) 0h x  ，当 3 2ex  时， ( ) 0h x  ， 所以 ( )h x 在 3 2ex  时，取得极大值 3 3 3 1 12(e) e 2e h    ， 又 x趋近于 0时， ( )h x 趋近于，当 x趋近于时， ( )h x 趋近于 0， 所以， ( )h x 的图像如图所示， 由图可知，当 3 10 2 2e a   ，即 30 ea   时，  g x 有两个变号零点， 且分别为 ( )g x 极大值点和极小值点，所以 a的取值范围为  30,e ． 19 （2）   1 1 ( 1) 1 1 ax af x a x x x          ， ①当 0a  时， ( 1) ln 2 0f a     ，不符合题意. ②当 a<0时，令 ( ) 0f x  ，解得 11x a   ， 当 1,1x a        时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在区间 1,1 a       上单调递减， 当 11 ,1x a       时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在区间 11 ,1 a      上单调递增， 所以当 11x a   时， ( )f x 取得最小值  11 1 lnf a a a          ； 若   0f x  恒成立，则  1 ln 0a a    ， 设    1 ln ( 0)x x x x      ，则   1 11 xx x x      ， 当  , 1x   时，    0,x x   在区间  , 1  上单调递增， 当 ( 1,0)x  时，    0,x x   在区间  1 0 , 上单调递减， 所以     01x    ，即  1 ln 0a a    的解为 1a   . 所以 1a   ； （3）当 0a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在区间 ( ,1) 上单调递增， 所以 f（x）至多有一个零点，不符合题意； 当 a<0时，因为 (0) 0f  ，不妨设 1 0x  ， 若 20 1x  ，则 2 1 1 e 1x x    ，不符合题意； 若 2 0x  ，则 2 1 ex   ， 由（2）可知，只需 (1 e) 0f   ，即 (1 e) 1 0a    ，解得 1 0 1 e a   ， 即 a的取值范围为 1 ,0 1 e      .