精品解析：湖南长沙市长郡教育集团2025-2026学年九年级下学期期中检测数学试卷

九年级期中检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列立体图形中，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下看得到的图形，逐项分析即可得出结果，还考查了学生的空间想象能力． 【详解】解：A、该几何体的俯视图为正方形，故不符合题意； B、该几何体的俯视图为圆，故不符合题意； C、该几何体的俯视图为四边形，故不符合题意； D、该几何体的俯视图为三角形，故符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列调查适合抽样调查的是（ ） A. 了解某品牌牛奶的蛋白质含量 B. 对搭乘飞机的旅客进行安检 C. 了解某小组10名学生的跳远成绩 D. 检查“神舟二十二号”零件质量 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可． 【详解】解：A选项某品牌牛奶数量众多，全面检测不现实，适合抽样调查； B选项安检涉及安全，必须全面检查； C选项小组仅10人，可全面调查； D选项航天零件质量要求高，需全面检查． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的平移，根据平面直角坐标系中点平移的规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，进行求解即可． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度，横坐标变为，纵坐标保持2不变． 因此，平移后的点坐标为， 故选A． 6. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示，这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是 尺码/ 24 25 26 销售量/双 1 3 10 4 2 A. ，25 B. 25，25 C. 25， D. ，26 【答案】B 【解析】 【分析】找出出现次数最多的数得到众数，再将数据从小到大排列，根据数据总个数为偶数，取中间两个数的平均数得到中位数． 【详解】解：从表格可知尺码的销售量为10，是所有尺码中销售量最高的，即数据出现次数最多， ∴众数为， ∵总共有20个数据，数据个数为偶数，将所有尺码从小到大排列后，中位数为第个和第个数据的平均数， 从小到大累计个数，尺码有个，有个，累计到共个，接下来个尺码都是，即第到第14个数据均为25， ∴第个和第个数据都是25， ∴中位数为， 综上，众数和中位数分别是25，25． 7. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；两边乘或除同一个正数，不等号方向不变；两边乘或除同一个负数，不等号方向改变． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：两边同乘，不等号方向改变，得，故A错误； B：两边同加2，不等号方向不变，得，故B错误； C：两边同乘5，不等号方向不变，得，故C正确； D：无法通过判断与的大小关系，故D不一定成立，错误； 故选：C． 8. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ．     故选：A． 9. 2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据日平均增长率x，分别计算三天的下载量：首日40万次，第二天万次，第三天万次，三天总和等于万次，进行作答． 【详解】解：∵首日下载量：40万次， ∴第二天下载量：万次， ∴第三天下载量：万次， ∴三天累计下载量：万次， 故选：C 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】将点代入，求出，比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∵， ∴. 13. 如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．根据切线长定理可得，，，据此即可作答． 【详解】解：∵、切于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长 ． 故答案为：20． 14. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A 、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出AD=BD，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出AD的长． 【详解】解：∵分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D， ∴MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠B=15°， ∴∠ADC=30°， ∵∠C=90°，AC=2， ∴AD=2AC=4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了基本作图，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 16. 在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17 乙：4 丙：12 丁：9 戊：13 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________． 【答案】72 【解析】 【分析】先确定乙的两张卡片上的数字为，根据甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，得到甲同学手里两张卡片上的数字组合只能是或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：在中，两个不同的正整数的和为4的只有， 故乙手中的两张卡片数字为和， ∵， ∴甲手中的两张卡片上的数字只有8和9或10和7两种情况， 当甲手中的两张卡片上的数字为8和9时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，7，10， 其中和为13的只有和，故戊手中的两张卡片上的数字为和； 和为12的为10和2，和为9的为4和5，即丙手中的两张卡片上的数字为10和2，丁手中的两张卡片上的数字为4和5，符合题意； 故甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为； 当甲手中的两张卡片上的数字为10和7时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，8，9， 其中和为12的只有4和8，和为9的只有4和5， 数字4只有一张，不符合题意； 综上：甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据绝对值意义，负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算进行计算后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵m ≠ 0 且 ， ∴当时，原式． 19. “五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． （1）求点D转动到点的路径长； （2）求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】（1）点转动到点的路径长为 （2）点到直线的距离约为 【解析】 【分析】本题考查圆的弧长、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握弧长公式． （1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点D转动到点的路径长； （2）过点作于点，先证是等边三角形，结合等边三角形的性质与勾股定理可得的长，即点到直线的距离． 【小问1详解】 解：，且， ． ， ． ， ， 点转动到点的路径长为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由（1）知， ， 是等边三角形． ， ． ，， ． 点到直线的距离约为． 20. 我校数学教研组为了迎接学校第四届学科素养节游园活动，准备了四个数学活动项目，分别是：A．数学跳棋，B．数学积木方块，C．数学华容道，D．数独．每名学生只选择其中一个活动参与，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： 项目 选择人数 频率 A．数学跳棋 16 a B．数学积木方块 b 0.25 C．数学华容道 56 c D．数独 48 0.3 （1）填空：________，________；扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有1200名九年级学生，那么估计该中学九年级学生中选择“B（数学积木方块）”活动意向的学生有________人； （3）学校要从甲、乙、丙、丁四位志愿者家长中选取两位家长去协助数学教研组完成这四项活动，请利用画树状图或列表的方法，求选中甲、乙两位家长的概率． 【答案】（1）0.1；40； （2）300 （3） 【解析】 【分析】（1）用表格中D的人数除以频率可得调查的人数，用A的人数除以调查的人数可得a的值，用调查的人数乘以B的频率可得b的值，用乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案； （2）根据用样本估计总体，用1200乘以B的频率，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及选中甲、乙两位家长的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ∴， ， 扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：估计选择“”活动的人数为（人）； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 由列表法可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和乙的有2种结果， 所以选中甲和乙的概率为． 21. 如图，是的直径，，为上一点，为外一点，连接，，，且． （1）求证：与相切； （2）若，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又点为上一点， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由半径得，由，得、，进而可得，根据得，从而得，则与相切得证； （2）由直径得半径为5，由、得，进而可得，根据扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接， ， ， ，， ， 由（1）知：， ， 扇形的面积为． 22. 首届“湘超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． （1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； （2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足，请你帮忙计算单件售价a为多少元时，该店销售A品牌足球的利润最大？ 【答案】（1）A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元 （2）当单件售价元时，该店销售A品牌足球的利润最大 【解析】 【分析】（1）设品牌足球的单件进价为元，则品牌足球的单件进价为元，再根据数量相同列式求解； （2）设销售品牌足球的利润为元，得到表达式，再结合二次函数最值问题进行求解． 【小问1详解】 设品牌足球的单件进价为元，则品牌足球的单件进价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． ． 答：品牌足球的单件进价为100元，品牌足球的单件进价为80元． 【小问2详解】 设销售品牌足球的利润为元， 则 ， 因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当元时，取得最大值． 答：当单件售价元时，该店销售品牌足球的利润最大． 23. 如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为矩形， ， ． ， ， ． ． （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，然后可证； （2）由勾股定理得，，，由（1），则，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，根据勾股定理得， ， ． 在中，根据勾股定理得， ， 由（1）知， ， 即， ． 24. 如图1，二次函数与二次函数的图象均过点，，的图象与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，点P位于第一象限且在二次函数的图象上，直线l过点P且与x轴平行，与二次函数的图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与二次函数的图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求的面积； （3）如图2，二次函数的图象与一次函数的图象相交于C，H两点，点C在y轴上，点T是二次函数图象的对称轴上的一点． ①若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求二次函数的解析式； ②在①的条件下，点E是上方的抛物线上的一动点，将上方的抛物线沿翻折，点E的对应点为F，连接交于点G，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出二次函数的解析式为，得到的坐标为，设直线的方程为，令，求出，，推导吹出，列方程求出，则，进而求出直线的解析式为，设直线与的交点为，求出，即可解答； （3）①过点作交二次函数的图象的对称轴于点，设对称轴与轴相交于点，推导出，得到，求出二次函数的解析式为，即可解答； ②先求出直线的解析式为，则，设点，，过点作轴与一次函数的图象交于点，延长交y轴于点P，令直线交x轴于点M，连接，进而推导出为等腰直角三角形，设，得到当时，，根据，即可解答． 【小问1详解】 解：把点，代入得 解得 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，二次函数的解析式为， 令，得, ∴二次函数的图象与轴的交点的坐标为， 设直线的方程为， 令， 整理得， 解得 ， 令， 整理得， 解得， ， 又， ， ， 解得， 把代入，得， 解得，， 点在第一象限， ， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与的交点为，将代入， 得， ∴， ， 的面积为． 【小问3详解】 解：①过点作交二次函数的图象的对称轴于点，设对称轴与轴相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ ∴， ， ， 二次函数的解析式为． ②将代入，得， ∴一次函数的解析式为， 当时， 解得， 则点， 设点，， 过点作轴与一次函数的图象交于点，延长交y轴于点P，令直线交x轴于点M，连接，如图 由翻折，得，， ∴， 将代入，得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设， ， 当时，， ∵， ． 25. 小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程． 【初步思考】 他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”． （1）类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”． ①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（ ） ②“光谱六边形”的邻角互补；（ ） ③“光谱六边形”是中心对称图形．（ ） （2）【实践操作】 如图1，在“光谱六边形”中，证明：． （3）【思维探究】 当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积． 【答案】（1）√；×；√ （2） 证明：连接， ，， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得三组对边平行且相等，可构造中心对称结构，三条正对角线交于同一点且被该点平分，由此判断①③正确，由题意仅知三组对边平行无法得出邻角和为，故②不正确； （2）连接，根据、得、，进而可得即得证； （3）如图，作，，得“正光谱六边形”，根据等腰三角形面积公式计算其直角边长为，设“正光谱六边形”的边长为，根据图中得，解得，根据计算“正光谱六边形”的面积即可． 【小问1详解】 ①√ ；②× ；③ √； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作，，， 设“正光谱六边形”的边长为， 等腰直角三角形的面积为， 等腰直角三角形的直角边长为， ，即， ， 该“正光谱六边形”的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形中，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查适合抽样调查的是（ ） A. 了解某品牌牛奶的蛋白质含量 B. 对搭乘飞机的旅客进行安检 C. 了解某小组10名学生的跳远成绩 D. 检查“神舟二十二号”零件质量 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示，这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是 尺码/ 24 25 26 销售量/双 1 3 10 4 2 A. ，25 B. 25，25 C. 25， D. ，26 7. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”） 13. 如图，切于点A、B，，切于点E，交于C、D两点，则的周长是___________． 14. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A 、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为________． 16. 在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17 乙：4 丙：12 丁：9 戊：13 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. “五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． （1）求点D转动到点的路径长； （2）求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 20. 我校数学教研组为了迎接学校第四届学科素养节游园活动，准备了四个数学活动项目，分别是：A．数学跳棋，B．数学积木方块，C．数学华容道，D．数独．每名学生只选择其中一个活动参与，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： 项目 选择人数 频率 A．数学跳棋 16 a B．数学积木方块 b 0.25 C．数学华容道 56 c D．数独 48 0.3 （1）填空：________，________；扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有1200名九年级学生，那么估计该中学九年级学生中选择“B（数学积木方块）”活动意向的学生有________人； （3）学校要从甲、乙、丙、丁四位志愿者家长中选取两位家长去协助数学教研组完成这四项活动，请利用画树状图或列表的方法，求选中甲、乙两位家长的概率． 21. 如图，是的直径，，为上一点，为外一点，连接，，，且． （1）求证：与相切； （2）若，求扇形的面积． 22. 首届“湘超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． （1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； （2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足，请你帮忙计算单件售价a为多少元时，该店销售A品牌足球的利润最大？ 23. 如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 24. 如图1，二次函数与二次函数的图象均过点，，的图象与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，点P位于第一象限且在二次函数的图象上，直线l过点P且与x轴平行，与二次函数的图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与二次函数的图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求的面积； （3）如图2，二次函数的图象与一次函数的图象相交于C，H两点，点C在y轴上，点T是二次函数图象的对称轴上的一点． ①若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求二次函数的解析式； ②在①的条件下，点E是上方的抛物线上的一动点，将上方的抛物线沿翻折，点E的对应点为F，连接交于点G，求线段的最大值． 25. 小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程． 【初步思考】 他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”． （1）类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”． ①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（ ） ②“光谱六边形”的邻角互补；（ ） ③“光谱六边形”是中心对称图形．（ ） （2）【实践操作】 如图1，在“光谱六边形”中，证明：． （3）【思维探究】 当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $