8.3.2球的表面积和体积（外接球、内切球、棱切球）（知识清单+题型突破）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦球的表面积和体积计算核心知识点，先梳理球、圆柱、圆锥、圆台的体积公式，再通过十大题型（如汉堡模型、墙角模型等）构建从基础公式到复杂几何体（三棱锥、正四棱台等）中外接球、内切球、棱切球应用的学习支架。 资料特色在于分题型系统整合实例，如“墙角模型”将三棱锥补形为长方体求外接球，培养学生用数学眼光观察几何体结构，用数学思维推理球与几何体的位置关系，提升空间观念与推理能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

8.3.2　球的表面积和体积（外接球、内切球、棱切球） 1．了解球的表面积和体积的计算公式． 2．能利用计算公式求外接球、内切球、棱切球的表面积与体积． 圆柱、圆锥、圆台的体积 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 题型一 汉堡模型 1．（25-26高三上·河北石家庄·月考）在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，，，，则此堑堵的外接球半径是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西·月考）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南·开学考试）已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为__________. 5．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    6．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 题型二 墙角模型（补形为正方体与长方体） 7．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 8．（25-26高二上·四川内江·月考）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，、、两两垂直，，，则球的表面积为______． 10．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型三 斗笠模型 11．（25-26高三上·河南商丘·期末）某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·四川·二模）一个圆锥的底面直径为4，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________. 16．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 题型四 对棱相等模型 17．（2025·江西·二模）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为______． 18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 19．（2024·重庆·模拟预测）已知四面体ABCD中，，若四面体ABCD的外接球的表面积为7，则四面体ABCD的体积为（    ） A．1 B．2 C． D． 20．（24-25高一下·江苏苏州·期末）在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为__________，四面体的体积为________________________． 21．（2025高三·全国·专题练习）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，，，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____． 题型五 台体模型（正棱台、圆台） 22．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·福建福州·开学考试）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 题型六 面面垂直的模型（L模型） 26．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 27．（25-26高三上·福建福州·月考）已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·四川雅安·三模）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·福建·期中）在三棱锥中，.平面平面，若球O是三棱锥的外接球，则球O的表面积为（    ）. A． B． C． D． 30．（24-25高三上·江苏南京·月考）三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的取值范围为______. 题型七 二面角模型（万能公式） 31．（25-26高二上·河南南阳·月考）在三棱锥中，二面角为，为边长为2的等边三角形，为等腰直角三角形（），则该三棱锥外接球的表面积为______. 32．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知二面角的大小为，且，，. 若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 33．（2025高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 34．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于______. 35．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是_____ 题型八 矩形模型 36．（2025·四川眉山·三模）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.    37．（25-26高二上·云南昭通·期末）在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高三上·浙江·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型九 内切球问题 40．（25-26高三下·重庆·月考）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 41．（2026高一·全国·专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为____. 42．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 43．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 题型十 棱切球问题 46．（24-25高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（    ） A．球的体积为 B．球内接圆柱的侧面积的最大值为 C．球在正方体外部的体积小于 D．球在正方体外部的面积大于 48．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）（多选）如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（    ） A．点到平面的距离等于1 B．点到直线的距离等于1 C．球在正八面体外部的体积小于 D．球在正八面体外部的面积大于 49．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 1．（2026·新疆·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西临汾·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（   ） A．108 B．108 C．162 D． 7．（25-26高三上·山东东营·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高三上·广东深圳·月考）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖南邵阳·一模）（多选）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 10．（25-26高三上·江西·月考）（多选）已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．正四面体的体积为 D．正四面体的内切球体积为 11．（25-26高一下·全国·课后作业）正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______________，体积为______________． 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知四边形，是以为边长的等边三角形，，现把沿着对角线进行翻折，使得点在面上的投影落在点处，则此时三棱锥外接球的表面积为___________. 13．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 14．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为_____. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2　球的表面积和体积（外接球、内切球、棱切球） 1．了解球的表面积和体积的计算公式． 2．能利用计算公式求外接球、内切球、棱切球的表面积与体积． 圆柱、圆锥、圆台的体积 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 题型一 汉堡模型 1．（25-26高三上·河北石家庄·月考）在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算三角形外接圆的半径，再求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设是等腰三角形的外心， 由，， ， 设三角形外接圆半径为，由正弦定理得， 设三棱锥外接球球心为，半径为，则， 所以外接球的表面积为. 故选：D 2．（24-25高一下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，，，，则此堑堵的外接球半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出即为外接圆的直径，设此堑堵的外接球半径为，则，即可求出. 【详解】因为，，，则， 则外接圆的直径为， 设此堑堵的外接球半径为，则， 即，所以. 故选：C 3．（25-26高三上·江西·月考）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，根据题中条件，结合勾股定理，可得半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上， 所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心， 且与底面圆心的连线垂直底面， 因为圆柱底面半径为，高为， 所以球心到底面的距离， 因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径， 所以由勾股定理得， 则球的表面积． 故选：C． 4．（25-26高三上·河南·开学考试）已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为__________. 【答案】/ 【分析】作圆柱的轴截面，求出球的半径，根据球的体积公式求球的体积. 【详解】作圆柱的轴截面，如图： 由题意可知：，， 则球的半径，且， 所以. 所以球的体积为：. 故答案为： 5．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    【答案】 【分析】先求得直三棱柱外接球的半径为，再结合半径求得直三棱柱的侧棱，最后根据等体积法求解体积即可. 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为 故答案为：    6．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，利用直角三角形的性质，得到，即为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，得到，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    题型二 墙角模型（补形为正方体与长方体） 7．（25-26高三上·广东深圳·期末）在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 8．（25-26高二上·四川内江·月考）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因，、两两垂直，故三棱锥的外接球，即是以，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：B 9．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，、、两两垂直，，，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】将三棱锥补形为一个长方体，则球的直径即为长方体的体对角线，再利用球的表面积公式计算即得答案. 【详解】如图所示： 将三棱锥补形为一个长方体，则球的直径即为长方体体对角线. 设外接球的半径为R 即，故. 故答案为：. 10．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 题型三 斗笠模型 11．（25-26高三上·河南商丘·期末）某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的面积公式及题意可得，圆锥的高，进而结合勾股定理可得圆锥外接球半径，进而求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意，得，所以， 则圆锥的高，因为圆锥外接球的球心在圆锥的高上，设圆锥外接球半径为， 则，解得， 则圆锥外接球的表面积为 圆锥的表面积为， 所以圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为. 故选：D. 12．（2026·四川·二模）一个圆锥的底面直径为4，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的结构特征有圆锥轴截面对应三角形内接于球体最大圆时，球体表面积最小，再由圆锥的体积公式及轴截面的相关计算求球体半径，即可得. 【详解】由题意，圆锥轴截面对应三角形内接于球体最大圆时，球体的半径最小，此时表面积最小， 若圆锥的高为，而其底面半径为2，则，可得， 令球体半径为，则，可得， 所以球体表面积为. 13．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积. 【详解】 根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接， 由等边三角形，其边长，可知， 再由勾股定理得：， 设外接球半径为，结合勾股定理： 可得：，解得：， 由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程， 故该外接球的半径仍为， 所以该外接球的表面积为：， 故选：A 14．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 15．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________. 【答案】 【分析】由，得正四棱锥的外接球球心为，半径为，可求外接球的体积. 【详解】正四棱锥中，设，连接，则平面， 设正四棱锥的外接球球心为，则在直线上， 因为正四棱锥的高为，所以， 底面正方形的边长为6，则有，所以即为， 正四棱锥的外接球半径为，外接球的体积为. 故答案为： 16．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 【答案】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 题型四 对棱相等模型 17．（2025·江西·二模）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】将四面体ABCD置于长宽高分别为a，b，c的长方体中，根据勾股定理列出方程组，求出外接球半径，进而求出外接球表面积. 【详解】设四面体ABCD的外接球的半径为R，将四面体ABCD置于长宽高分别为a，b，c的长方体中， 故， 故， 故四面体ABCD的外接球的表面积为． 故答案为： 18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 【答案】/ 【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的外接球即为四面体的外接球，求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的外接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故答案为：. 19．（2024·重庆·模拟预测）已知四面体ABCD中，，若四面体ABCD的外接球的表面积为7，则四面体ABCD的体积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将四面体放入长方体中，如图，设长宽高分别为，由题意列方程求出，再由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图， 设长宽高分别为，由 ， 故选：A. 20．（24-25高一下·江苏苏州·期末）在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为__________，四面体的体积为________________________． 【答案】 【分析】取的中点，得到则为四面体的外接球的直径，结合球的表面积公式可得第一空答案，利用转换法求体积可得第二空答案. 【详解】在四面体中，因为，所以为直角三角形， 因为，所以为直角三角形， 取的中点，则，所以为四面体的外接球的球心， 则为四面体的外接球的直径， 所以四面体的外接球的表面积为． 将四面体补成直三棱柱， 由条件可知，，且，所以， 又，所以，， 故四面体的体积为 ． 故答案为：，2. 21．（2025高三·全国·专题练习）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，，，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____． 【答案】50π 【分析】把四面体补成一个长方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此可求得外接球半径，从而得表面积． 【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A﹣BCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，且分别以a，b，c为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体， 并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41， 设球半径为R，则有(2R)2＝a2+b2+c2＝50， ∴4R2＝50， ∴球的表面积为． 故答案为：． 题型五 台体模型（正棱台、圆台） 22．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 23．（25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 24．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知圆台下底面为球的大圆，其圆心即为球心。根据球的截面性质可求出球心到上底面的距离，该距离即为圆台的高，再根据圆台的体积公式计算即可. 【详解】因为圆台下底面半径和球的半径均为2，所以圆台的下底面过球心， 下图为圆台外接球的轴截面，如图所示， 设球心为，圆台上底面圆心为，上底面半径为， 圆台下底面半径和球的半径为，圆台的高. 则由球的截面性质可知， 所以圆台的体积为. 故选：A 25．（25-26高三上·福建福州·开学考试）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 【答案】 【分析】由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以. 设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为， 当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，    则，消去和得， 平方化简得，平方化简得，解得，此时， 此时圆台的体积为； 当球的球心在圆台内时，    则，消去和得， 平方化简得，解得可得与矛盾， 综上，该圆台的体积为. 故答案为： 题型六 面面垂直的模型（L模型） 26．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 27．（25-26高三上·福建福州·月考）已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别求得和的外接圆的半径，设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为，取的中点，连接，结合球的截面的性质，求得,进而求得球的表面积，得到答案. 【详解】在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 可得两个小圆的半径相等，且都是，且互相垂直的两个小圆面相交弦， 设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为， 取的中点，连接，可得， 在直角中，可得, 所以外接球的表面积是． 故选：B. 28．（2024·四川雅安·三模）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由所给条件，结合球的截面小圆性质，确定出球心O的位置，再计算OA长即可得解. 【详解】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图： 因，则，有平面CDE， 所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1， 在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD， 由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径， 因平面平面，则，而， 即有四边形OO1EO2是正方形，则， 中，，则， 所求外接球的表面积. 故选：B 【点睛】关键点睛：求多面体外接球的表面积或体积的关键是确定其外接球球心位置，进而求得半径. 29．（24-25高一下·福建·期中）在三棱锥中，.平面平面，若球O是三棱锥的外接球，则球O的表面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得外接球的半径，由此求得球的表面积. 【详解】设分别是的中点， 由于，所以， 由于平面平面且交线为，所以平面， 由于，所以是的外心， 所以球心在过且与平面垂直的直线上， ，， ， 过作，且交点为， 由于，所以四边形是矩形，则. 设外接球的半径为， 所以， 解得，. 所以外接球的表面积为. 故选：D 30．（24-25高三上·江苏南京·月考）三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用球的截面性质确定的轨迹，再结合圆的性质求解即可. 【详解】 如图，取的外心，过作平面， 则三棱锥的外接球球心一定在上，设外接球半径为， ，，，由，， 过作于点，过作平面于点， ，由，得， 在面内以为圆心，以3为半径的圆弧上（且位于上方）， 设到的距离为，， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是利用球的截面性质得到的轨迹，然后利用锥体体积公式得到函数解析式，再求出所要求的取值范围即可． 题型七 二面角模型（万能公式） 31．（25-26高二上·河南南阳·月考）在三棱锥中，二面角为，为边长为2的等边三角形，为等腰直角三角形（），则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用球的截面小圆性质，分析探讨出三棱锥的外接球球心位置，求出球半径即可得解. 【详解】取的中点为点，过作底面，如图所示， 设为球心，过作，且在底面上，连接、、， 由性质易得，即二面角的平面角，大小为， 在中，，则，；设，易得， 由球的性质知，，过点作于点，，， 在中，，在中，，， 则，，化简可得， .. 故答案为： 32．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知二面角的大小为，且，，. 若点，，，都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心，，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点，为三棱锥外接球半径，取的中点为，推导出的外接圆直径，从而，当时，的最小值为，由此能求出该球的表面积的最小值． 【详解】设，则， 设和的外心分别为、，则分别为的中点， 过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点， 则为三棱锥的外心， 连接，则为三棱锥外接球的半径． 取的中点，连接、、，如图所示： 由条件知且，， 所以为二面角的平面角，即，连接， 因为平面，平面，平面，平面， 所以，， 所以四点共圆，且该圆的直径为． 在中，由余弦定理可得 所以的外接圆直径， 当时，的最小值为， 所以该球的表面积的最小值为. 故选：C 33．（2025高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定二面角的平面角，再求三棱锥外接球的半径，最后利用球的体积公式计算的结果． 【详解】如图，设的中点分别为，连接， 则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起， 所以，进而，所以为二面角的平面角，故． 因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接， 因为为的中点，则， 又，，所以平面，所以， 又，，所以平面，所以， 同理得， 由，可知，且，所以平分， 因为，，所以，在中，，， 所以，即三棱锥外接球半径为． 所以所求体积为． 故选：C. 34．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于______. 【答案】 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，进而求半径表达式并利用配方法求出球半径的最小值，从而可得的值. 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 所以球体积取得最小值时，则球的半径最小. 设，则， 由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H， 易知分别为的中点，且四点共圆， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O， 为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图： 由条件知， 在中，由余弦定理可得 ， ∴的外接圆直径， 当时，球的半径取得最小值. 故. 故答案为： 35．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是_____ 【答案】/ 【分析】取中点，连接，推得，即得 是等边三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点，可得点为四面体的外接球的球心，分别求出，即可求得外接球半径即得. 【详解】 如图，取中点，连接， 因，则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形， 分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球的半径求法问题，属于难题. 解题思路在于：先找到二面角的平面角，推得正三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，即外接球球心，结合图形即可求得外接球半径. 题型八 矩形模型 36．（2025·四川眉山·三模）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.    【答案】 【分析】由线面垂直的性质与判定易证得，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可确定中点即为球的球心，由此可得半径，代入球的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知：球为鳖臑的外接球， 面，面，，， 又，面，，面， 又面，； 取中点，连接，    ，，同理可知：， 点与球的球心重合，球的半径， 球的表面积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，解题关键是能够利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，确定两个具有公共斜边的直角三角形的斜边中点即为球心的位置. 37．（25-26高二上·云南昭通·期末）在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中点到四面体的四个顶点、、、的距离相等，是四面体的外接球的球心，再求出球半径及表面积. 【详解】如图 设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，为， 则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为， 则四面体ABCD的外接球的表面积为． 故选：B. 38．（24-25高三上·浙江·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可. 【详解】 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 故选：B 39．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用几何法找出外接球的球心，计算出外接球的半径，然后得出表面积； 【详解】如图所示： 由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O， 因为,且,所以, 所以, 所以四面体的外接球半径,则表面积. 故答案选：C 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，难度一般，解答时找准球心，计算得出半径是关键. 题型九 内切球问题 40．（25-26高三下·重庆·月考）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以5个球的表面积之和为. 41．（2026高一·全国·专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为____. 【答案】/ 【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径即可. 【详解】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，，由， 可得，又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半径为. 42．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 【答案】 【分析】根据已知确定正方体的内切球半径，再由球体的体积公式求体积. 【详解】由题设，正方体的棱长为2，则内切于该正方体的球体半径为1， 所以球体的体积为. 故答案为： 43．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 44．（25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的半径与高的关系，利用相似三角形求得内切球半径，进而由体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，内切球的半径为，体积为， 则，所以，所以，    由有，即， 所以，又， 化简整理得：，解得（舍）， 所以， 故选：A. 45．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 【答案】 【分析】设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合球的体积公式即可求解． 【详解】如图，设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得， 即， 整理得，所以， 故两球体积之和为 ， 由二次函数性质可知：当且仅当时，有最小值， 即两球体积之和的最小值为． 故答案为：． 题型十 棱切球问题 46．（24-25高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，根据勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 47．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（    ） A．球的体积为 B．球内接圆柱的侧面积的最大值为 C．球在正方体外部的体积小于 D．球在正方体外部的面积大于 【答案】BCD 【分析】由棱切球的半径为,再依次判断即可. 【详解】A.依题意，得棱切球的半径为，则球的体积为，错误 B.记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为：， 则内接圆柱的侧面积为：， 等号成立时，故球的内接圆柱的侧面积最大值为：，正确 C.球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，即，正确 D.球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积. 每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积， 则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：， 得内接圆锥的侧面积为：， 所以6个球冠的表面积大于，正确 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D项中球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积. 48．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）（多选）如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（    ） A．点到平面的距离等于1 B．点到直线的距离等于1 C．球在正八面体外部的体积小于 D．球在正八面体外部的面积大于 【答案】BCD 【分析】对于A，先确定球的中心，然后利用正八面体的性质计算即可；对于B，直接利用三角形面积公式即可；对于C，计算在正八面体外部的球冠对应的圆锥的体积，然后估计出球在正八面体外部的体积的上界即可；对于D，利用旋转体体积公式求得球冠体积，并得到球冠与圆锥的总体积占整个球的比例，即可得到球冠的表面积，然后进行放缩即可. 【详解】对于A，由对称性可知棱切球球心就是正八面体的中心，而， 所以. 设点到平面的距离为，则有 ， 故，故A错误； 对于B，由于，故在平面上的投影就是正方形的中心， 故平面，而在平面内，故. 又因为，知点到直线的距离，故B正确； 对于C，根据上面的分析，球的半径等于点到直线的距离，即. 从而平面截棱切球所得圆的半径，设这个圆为圆. 设球的体积为，而以为顶点、圆为底面的圆锥的体积为， 则棱切球在正八面体内部的体积大于. 从而球在正八面体外部的体积小于 ，故C正确； 对于D，球在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积. 而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积. 从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积. 该圆锥的底面半径，高，故母线长. 所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积. 所以8个球冠的表面积之和大于，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的方式对球冠的表面积和体积进行估计. 49．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 1．（2026·新疆·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，再由线面垂直关系求出外接球半径，可得其表面积. 【详解】在中，设其外接圆半径为， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得， 因此外接球表面积. 2．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 3．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在线段上或在其延长线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得，矛盾， 若球心在线段的延长线上，则，解得， 所以， 所以该正四棱台的外接球的表面积为. 故选：C. 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥的轴截面是等腰直角三角形，设出底面圆半径，然后分别求出圆锥和其外接球的体积. 【详解】由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合， 不妨设底面直径为，则圆锥的高为，外接球的半径为， 外接球的体积是，圆锥的体积为， 于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为. 故选：D． 5．（2026·山西临汾·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理，得外接圆半径， 在三棱锥中，由平面，得三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 因此三棱锥外接球球心到平面的距离， 所以三棱锥外接球半径，该球的表面积. 6．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（   ） A．108 B．108 C．162 D． 【答案】D 【分析】首先由球的体积公式求出内切球半径，然后根据内切球的性质求出底面边长，最后分别求出底面积和侧面积即可求解. 【详解】设正三棱柱的内切球的半径为 ，由题意可知，解得， 设正三棱柱的底面边长为 ，高为 ，内切球的球心位于棱柱的几何中心， 由于球与两个底面相切，球心到底面的距离为 ，且等于半径 ，则， 球与侧面相切，底面为正三角形，其内切圆半径（即几何中心到边的距离）为 ， 由于侧面垂直于底面，球心到侧面的距离等于底面内切圆半径，且等于 ， 则，正三棱柱的表面积由两个底面和三个侧面组成， 两个底面的面积为：，侧面为矩形，侧面的面积为 ， 所以总表面积为 故选：D 7．（25-26高三上·山东东营·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆柱的侧面积，得到圆锥的母线和高，利用圆锥轴截面面积得到方程，求出内切球半径，得到答案. 【详解】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，内切球半径为， 则圆柱侧面积为， 所以圆锥的侧面积为，由圆锥侧面积公式可得， 故圆锥母线长，可得圆锥的高. 根据圆锥轴截面面积可知， 化简得，则圆锥内切球体积为. 故选：C 8.（25-26高三上·广东深圳·月考）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 故球与棱台的体积比为. 故选：C. 9．（2026·湖南邵阳·一模）（多选）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（   ） A．若圆台存在内切球，则内切球的体积为 B．若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为 C．若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为 D．若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或 【答案】AD 【分析】先做出圆台的轴截面，利用数形结合思想，根据各个选项所给条件逐一进行判断和运算即可. 【详解】取圆台的一个轴截面，则，如图（1）所示． 对于选项A，过点作的垂线，交于点，连接，则，所以内切球直径，内切球半径， 所以圆台的内切球体积，故选项A正确； 对于选项B，如图（2），在轴截面中，于点． 因为，所以． 设，则，所以． 所以圆台的外接球的表面积，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以． 如图（3）所示，当外接球球心点在之间时，圆台的母线， 圆台的表面积． 当外接球的球心在的延长线上时，如图（4）所示，圆台的母线， 圆台的表面积，故选项C错误； 对于选项D，外接球半径，由选项C分析可知，圆台的高或1． 所以圆台的体积， 当时，；当时，，故选项D正确． 故选：AD 10．（25-26高三上·江西·月考）（多选）已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．正四面体的体积为 D．正四面体的内切球体积为 【答案】ABD 【分析】利用“正四面体棱长，高，外接球半径，内切球半径之间的比例关系”，先求出棱长，进而逐项判断. 【详解】由正四面体基本性质可知，正四面体的对棱互相垂直，而和为一组对棱， 所以，故A正确. 设正四面体的棱长为，则正四面体的高，由正四面体性质可知， 外接球半径，所以外接球表面积，解得棱长，故B正确. 因为正四面体棱长为，则底面积，而高， 所以正四面体的体积，故C错误. 由正四面体性质可知，内切球半径， 所以内切球体积，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一下·全国·课后作业）正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______________，体积为______________． 【答案】 【分析】设内切球的半径为r，结合三棱锥的体积计算内切球的半径，最后求出球的体积及表面积. 【详解】∵正三棱锥的高为1，底面边长为， ， 设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥． 又正三棱锥的斜高为， ， ． ， 体积． 故答案为：；. 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知四边形，是以为边长的等边三角形，，现把沿着对角线进行翻折，使得点在面上的投影落在点处，则此时三棱锥外接球的表面积为___________. 【答案】 【分析】因为点在面上的投影落在点处，所以平面BCD，根据条件，求出各个长度，根据余弦定理，求出的余弦值，进而可得其正弦值，根据正弦定理，可得的外接圆半径，设棱锥外接球的球心为O，则平面BCD，根据三棱锥的几何性质，数形结合，计算求解，即可得答案. 【详解】因为点在面上的投影落在点处， 所以平面BCD，则， 因为， 所以， 在中，， 所以， 设的外接圆圆心为，外接圆半径r， 由正弦定理得，解得， 设三棱锥外接球的球心为O，外接球半径为R，， 则平面BCD， 过O作，交AC于点E，则， 在中，，即， 在中，，即， 与上式联立，解得，， 所以外接球的表面积. 故答案为： 13．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】利用正弦定理求出的外接圆直径，利用公式可计算得出三棱锥的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为， 取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于， 则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得. 平面，设的外接圆为圆， 可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示： 设的外接圆直径为，，又， 由正弦定理可得， 该三棱锥的外接球直径为，则. 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为_____. 【答案】 【分析】先求出上、下底面外接圆的半径，再求出棱台的高，然后分球心在两平面之间和球心在两平面同侧两种情况讨论，求出球的半径，即可求出三棱台的外接球的表面积. 【详解】 如图所示，设球心为，半径为， 由正三角形的外接圆半径公式， 可知上底面的外接圆半径， 下底面的外接圆半径. 所以三棱台的高， 若球心在两平面之间，设球心到上底面的距离， 则到下底面的距离为， 由球心到各顶点的距离相等可得， ， ， 解得，不符合题意； 若球心在两平面同侧，设球心到上底面的距离， 则到下底面的距离为， 由球心到各顶点的距离相等可得， ， ，解得， 所以球的半径的平方， 所以该三棱台的外接球的表面积为， 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $