2.2.2 向量的减法 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.2.2 向量的减法 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1. （2025·湖南岳阳模拟）在△OMN中，－＋等于（　　） A. 0 B. 2 C. 2 D. 0 2. （2025·河南商丘高一检测）化简－（－）＋等于（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 0 3. 在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则－＋等于（　　） A. B. C. D. 4. 若｜｜＝5，｜｜＝8，则｜｜的取值范围是（　　） A. [3，8] B. （3，8） C. [3，13] D. （3，13） 5. 如图所示，记向量＝a，＝b，＝c， 则向量可以用a，b，c表示为（　　） A. a＋b－c B. a－b＋c C. b－a＋c D. b－a－c 6. （2025·浙江高一阶段练习）在四边形ABCD中，O为任意一点.若－＋－＝0，则（　　） A. 四边形ABCD是矩形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 四边形ABCD是正方形 D. 四边形ABCD是平行四边形 7. （2025·陕西咸阳阶段练习）设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走3 km”，则b－a＋b所表示的意义为（　　） A. 向东南走6 km B. 向东南走3 km C. 向西南走6 km D. 向西南走3 km 8. （多选）（2024·广东东莞开学考试）下列结果中，恒为零向量的是（　　） A. －（＋） B. －＋－ C. －＋ D. ＋＋－ 9. （多选）已知△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，则有（　　） A. ｜＋｜＝｜－｜ B. ｜－｜＝｜－｜ C. ｜－｜＝｜－｜ D. ｜－｜＞｜－｜＋｜－｜ 二、填空题 10. 化简：－（＋）＝ . 11. 若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ . 12. 如图所示，已知网格内小正方形的边长为1，P是阴影区域内的一个动点（包括边界），点O，A在格点上，则｜－｜的最小值是，最大值是 . 13. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则＝ . 三、解答题 14. 如图所示，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a. 15. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 16. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，设＝a，＝b.证明： （1）｜a－b｜＝｜a｜； （2）｜a＋（a－b）｜＝｜b｜. 参 考 答 案 一、选择题 1. （2025·湖南岳阳模拟）在△OMN中，－＋等于（　A　） A. 0 B. 2 C. 2 D. 0 解析： －＋＝＋＋＝＋＝0. 2. （2025·河南商丘高一检测）化简－（－）＋等于（　D　） A. 2 B. 2CB C. 2 D. 0 解析： 由题意可得－（－）＋＝＋＋＋＝＋＝0. 3. 在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则－＋等于（　B　） A. B. C. D. 解析： －＋＝＋＋＝＋＝，在平行四边形ABCD中，＝，∴－＋＝. 4. 若｜｜＝5，｜｜＝8，则｜｜的取值范围是（　C　） A. [3，8] B. （3，8） C. [3，13] D. （3，13） 解析： ∵｜｜＝｜－｜， ∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤｜｜＋｜｜，即3≤｜｜≤13. 5. 如图所示，记向量＝a，＝b，＝c， 则向量可以用a，b，c表示为（　C　） A. a＋b－c B. a－b＋c C. b－a＋c D. b－a－c 解析： 由题图可知，＝＋＝－＋＝b－a＋c. 6. （2025·浙江高一阶段练习）在四边形ABCD中，O为任意一点.若－＋－＝0，则（　D　） A. 四边形ABCD是矩形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 四边形ABCD是正方形 D. 四边形ABCD是平行四边形 解析： ∵－＋－＝0，∴＋＝0，即＝，可知AB，CD两边平行且相等，∴四边形ABCD是平行四边形，但没有足够的条件来判断四边形ABCD是否为矩形、菱形或正方形. 7. （2025·陕西咸阳阶段练习）设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走3 km”，则b－a＋b所表示的意义为（　C　） A. 向东南走6 km B. 向东南走3 km C. 向西南走6 km D. 向西南走3 km 解析： 如图所示，分别作出＝a，＝2b，则利用向量加法的交换律可得 b－a＋b＝2b－a，故＝2b－a，易知△OAB为等腰直角三角形，故∠OAB＝45°，且｜｜＝6，于是b－a＋b所表示的意义为向西南走6 km. 8. （多选）（2024·广东东莞开学考试）下列结果中，恒为零向量的是（　BCD　） A. －（＋） B. －＋－ C. －＋ D. ＋＋－ 解析： 对于A，－（＋）＝－＝2，A错误；对于B，－＋－＝＋＝0，B正确；对于C，－＋＝＋＝0，C正确；对于D，＋＋－＝＋＝0，D正确. 9. （多选）已知△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，则有（　ABC　） A. ｜＋｜＝｜－｜ B. ｜－｜＝｜－｜ C. ｜－｜＝｜－｜ D. ｜－｜＞｜－｜＋｜－｜ 解析： 由题可知AB＝AC，且AB⊥AC，则以AB，AC为邻边的平行四边形是正方形，其对角线相等，根据向量的运算法则可知｜＋｜＝｜－｜，A正确；－＝，－＝，∴｜－｜＝｜－｜，B正确；－＝，－＝，∴｜－｜＝｜－｜，C正确；｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，由条件可知 ｜｜＜｜｜＋｜｜，即｜－｜＜｜－｜＋｜－｜， D错误. 二、填空题 10. 化简：－（＋）＝　　. 解析： －（＋）＝－（－）＝－＝. 11. 若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜＝　0　，｜a－b｜＝　2　. 解析： 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴｜a＋b｜＝0，又a＝－b， ∴｜a｜＝｜－b｜＝1，∵a与b共线，∴｜a－b｜＝2. 12. 如图所示，已知网格内小正方形的边长为1，P是阴影区域内的一个动点（包括边界），点O，A在格点上，则｜－｜的最小值是　　，最大值是　2　. 解析： ｜－｜＝｜｜，本题即求点A到阴影区域中的点距离的最值，如图所示， 最小值是｜AB｜＝，最大值是｜AC｜＝2. 13. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则＝　　. 解析： 如图所示， 设＝a，＝b，则＝－＝a－b，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则＝＋＝a＋b. ∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，∴△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，∠OAC＝120°，∴｜a＋b｜＝｜｜＝｜a｜，∴＝＝. 三、解答题 14. 如图所示，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a. 解：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b. 如图所示，作向量＝a，则＝a－b＋a. 15. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 解：由向量的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b. 当a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜，且｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为正方形. 16. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，设＝a，＝b.证明： （1）｜a－b｜＝｜a｜； 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝CB，又M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM. （1）∵－＝，且｜｜＝｜｜，∴｜a－b｜＝｜a｜. （2）｜a＋（a－b）｜＝｜b｜. 证明：∵M是斜边AB的中点，∴＝，∴a＋（a－b）＝＋（－）＝＋＝＋＝，又｜｜＝｜｜，∴｜a＋（a－b）｜＝｜b｜. 学科网（北京）股份有限公司 $