2.2.1 向量的加法 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.2.1 向量的加法 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1. 在平行四边形ABCD中，＋＋等于（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于（　　） A. B. C. D. 3. 若在△ABC中，＝a，＝b，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝，则△ABC的形状是（　　） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量a＋b的方向（　　） A. 与向量a的方向相同 B. 与向量a的方向相反 C. 与向量b的方向相同 D. 不确定 5. 若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则（　　） A. ｜2a｜＞｜2a＋b｜ B. ｜2a｜＜｜2a＋b｜ C. ｜2b｜＞｜a＋2b｜ D. ｜2b｜＜｜a＋2b｜ 6. 在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜＋｜，则四边形ABCD是（　　） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定 7. 已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于（　　） A. △ABC的AB边上 B. △ABC的BC边上 C. △ABC的内部 D. △ABC的外部 8. （多选）设a＝（＋）＋（＋），b是任一非零向量，则下列结论中，正确的有（　　） A. a∥b B. a＋b＝a C. a＋b＝b D. a＋b＜｜a｜＋｜b｜ 9. （多选）已知四边形ABCD为平行四边形，则下列结论中，正确的有（　　） A. ＋＝ B. ＋＝ C. ＋＝ D. ＋＝ 10. 设a，b，c为非零向量，若p＝＋＋，则｜p｜的取值范围是（　　） A. [0，1] B. [1，2] C. [0，3] D. [1，3] 二、填空题 11. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝ . 12. 已知G是△ABC的重心，则＋＋＝ . 13. 一艘船在静水中的航行速度大小为5 km/h，河水的流速大小为2 km/h，则船实际航行速度的大小（单位：km/h）的取值范围是 . 三、解答题 14. 如图所示，求： （1）a＋d；（2）c＋b；（3）e＋c＋b；（4）c＋f＋b. 15. 如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力｜F1｜＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力｜F2｜＝12 N.求F1和F2的合力. 16. 设｜a｜＝2，e为单位向量，试求｜a＋e｜的最大值. 参 考 答 案 一、选择题 1. 在平行四边形ABCD中，＋＋等于（　A　） A. B. C. D. 解析： ＋＋＝（＋）＋＝＋＝＝. 2. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于（　B　） A. B. C. D. 解析： ＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝. 3. 若在△ABC中，＝a，＝b，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝，则△ABC的形状是（　D　） A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形 解析： ∵｜｜＝｜a｜＝1，｜｜＝｜b｜＝1，｜｜＝｜a＋b｜＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC为等腰直角三角形. 4. 已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量a＋b的方向（　A　） A. 与向量a的方向相同 B. 与向量a的方向相反 C. 与向量b的方向相同 D. 不确定 解析： 若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a（或b）的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同. 5. 若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则（　C　） A. ｜2a｜＞｜2a＋b｜ B. ｜2a｜＜｜2a＋b｜ C. ｜2b｜＞｜a＋2b｜ D. ｜2b｜＜｜a＋2b｜ 解析： ｜a＋2b｜＝｜a＋b＋b｜≤｜a＋b｜＋｜b｜＝2｜b｜. 由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立. 6. 在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜＋｜，则四边形ABCD是（　B　） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定 解析： ∵四边形ABCD为平行四边形，∴＋＝，＋＝. 又｜＋｜＝｜＋｜，∴｜｜＝｜｜. ∴该平行四边形ABCD为矩形. 7. 已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于（　D　） A. △ABC的AB边上 B. △ABC的BC边上 C. △ABC的内部 D. △ABC的外部 解析： 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则及＋＝，可知点P在△ABC的外部. 8. （多选）设a＝（＋）＋（＋），b是任一非零向量，则下列结论中，正确的有（　AC　） A. a∥b B. a＋b＝a C. a＋b＝b D. a＋b＜｜a｜＋｜b｜ 解析： 由题意，a＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，A，C正确，B错误；平面向量不能比较大小，D错误. 9. （多选）已知四边形ABCD为平行四边形，则下列结论中，正确的有（　AC　） A. ＋＝ B. ＋＝ C. ＋＝ D. ＋＝ 解析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴＋＝，＋≠，＋＝＋＝＝，＋＝＋＋＝＋2＝＋2≠. 10. 设a，b，c为非零向量，若p＝＋＋，则｜p｜的取值范围是（　C　） A. [0，1] B. [1，2] C. [0，3] D. [1，3] 解析： ，，分别为a，b，c方向上的单位向量，则｜p｜＝≤3，当且仅当a，b，c方向都相同时，等号成立.作＝， ＝，＝，当∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝时，如图所示.以OA， OB为邻边作平行四边形OAEB，连接OE，则＋＝，且四边形OAEB为菱形，∠AOE＝，∴△AOE为等边三角形，∴｜｜＝1，又∠AOC＝， ｜｜＝1，∴由图可知＋＝0，即｜p｜＝｜＋＋｜＝0.综上，0≤｜p｜≤3. 二、填空题 11. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝　1　. 解析： 在菱形ABCD中，连接BD，∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，又｜｜＝1，∴｜｜＝1，｜＋｜＝｜｜＝1. 12. 已知G是△ABC的重心，则＋＋＝　0　. 解析： 如图所示，连接AG并延长交BC于点E，E为BC的中点，延长AE到点D，使ED＝GE，则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0. 13. 一艘船在静水中的航行速度大小为5 km/h，河水的流速大小为2 km/h，则船实际航行速度的大小（单位：km/h）的取值范围是　[3，7]　. 解析： 设该船实际航行的速度为v，∵船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，∴｜｜v静｜－｜v水｜｜≤｜v｜≤｜v静｜＋｜v水｜，故5－2≤｜v｜≤5＋2，则3≤｜v｜≤7，∴船实际航行速度的大小的取值范围是[3，7]. 三、解答题 14. 如图所示，求： （1）a＋d； 解：（1）a＋d＝d＋a＝＋＝. （2）c＋b； 解：（2）c＋b＝＋＝. （3）e＋c＋b； 解：（3）e＋c＋b＝e＋（c＋b）＝＋＝. （4）c＋f＋b. 解：（4）c＋f＋b＝c＋b＋f＝＋＝. 15. 如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力｜F1｜＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力｜F2｜＝12 N.求F1和F2的合力. 解：如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝. 在△OCA中，｜｜＝24，｜｜＝｜｜＝12，∠OAC＝60°， ∴∠OCA＝90°，∴｜｜＝12. ∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90°角竖直向上. 16. 设｜a｜＝2，e为单位向量，试求｜a＋e｜的最大值. 解：在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，∵e为单位向量，∴点B在以点A为圆心的单位圆上（如图所示）， 由图可知当点B在点B1处时，即O，A，B1三点共线时，｜a＋e｜最大，最大值是3. 学科网（北京）股份有限公司 $