2.3 从速度的倍数到向量的数乘 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

2.3 从速度的倍数到向量的数乘 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.（2025·湖南岳阳模拟）已知向量a，b，则2（a＋b）－（a－b）等于（　　） A.a＋b B.a－b C.3a＋b D.a＋3b 2.在平行四边形ABCD中，－等于（　　） A. B. C. D. 3.（2025·金华高一期中）在△ABC中，D是AC边上靠近点A的三等分点，E是AB边的中点，则等于（　　） A.－－ B.－＋ C.－－ D.－ 4.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是（　　） ①a＝－3e，b＝2e； ②a＝e1－e2，b＝－e1； ③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋. A.① B.①② C.②③ D.①②③ 5.已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于（　　） A. B.3 C.6 D.0 6.如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于（　　） A.－a＋b B.a－b C.a＋b D.－a＋b 7.在△ABC中，D是AC边上一点，且AC＝4AD，P为BD边上一点，若向量＝λ＋μ（λ＞0，μ＞0），则λ，μ满足的关系式为（　　） A.λ＋μ＝1 B.λ＋＝1 C.λ＋4μ＝1 D.4λ＋μ＝1 8.（多选）（2025·陕西西安期中）下列命题中，正确的有（　　） A.（－5）（6a）＝－30a B.7（a＋b）＋6b＝7a＋13b C.若a＝m－n，b＝3（m－n），则a，b共线 D.（a－5b）＋（a＋5b）＝2a，则a，b共线 9.（多选）在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，G为△ABC的重心，则下列结论中，正确的有 （　　） A.－＝ B.＝＋） C.＋＋＝0 D.＋＋＝0 二、填空题 10.（2025·重庆阶段练习）如图所示，在正六边形ABCDEF中，－＋＋2＝ . 11.（2025·福建厦门高一期中）已知x，y是实数，向量a，b不共线.若（y－2）a＋（x－1）b＝0，则x＋y＝ . 12.（2025·辽宁铁岭期中）在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点.若＝＋，则m＝ . 13.已知△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是 . 三、解答题 14.（1）化简：（a＋b）－（b－a）＋（0－a）； （2）已知i，j为非零向量，设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋2b－a. 15.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线.问：是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？ 16.如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，证明：M，N，C三点共线. 参 考 答 案 一、选择题 1.（2025·湖南岳阳模拟）已知向量a，b，则2（a＋b）－（a－b）等于（　D　） A.a＋b B.a－b C.3a＋b D.a＋3b 解析： 由题意2（a＋b）－（a－b）＝2a＋2b－a＋b＝a＋3b. 2.在平行四边形ABCD中，－等于（　C　） A. B. C. D. 解析： 设BD与AC交于点O，则－＝－＝＝. 3.（2025·金华高一期中）在△ABC中，D是AC边上靠近点A的三等分点，E是AB边的中点，则等于（　A　） A.－－ B.－＋ C.－－ D.－ 解析： ＝－＝－＝－－－）＝－－. 4.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是（　B　） ①a＝－3e，b＝2e； ②a＝e1－e2，b＝－e1； ③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋. A.① B.①② C.②③ D.①②③ 解析： ①，a＝－b，∴a∥b；②，b＝－e1＝＝－a，∴a∥b；③， b＝＝（e1＋e2），若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线. 5.已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于（　C　） A. B.3 C.6 D.0 解析： 连接AD，∵在△PAD中，PO是AD边上的中线，∴＝＋）①，同理可得＝＋）②，＝＋）③，①＋②＋③可得3＝＋＋＋＋＋），即＋＋＋＋＋＝6. 6.如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于（　D　） A.－a＋b B.a－b C.a＋b D.－a＋b 解析： 由平面向量的三角形法则，可知＝＋＝＋＝－）－＝－＋＝－a＋b. 7.在△ABC中，D是AC边上一点，且AC＝4AD，P为BD边上一点，若向量＝λ＋μ（λ＞0，μ＞0），则λ，μ满足的关系式为（　C　） A.λ＋μ＝1 B.λ＋＝1 C.λ＋4μ＝1 D.4λ＋μ＝1 解析： 由AC＝4AD可得4＝，∴＝λ＋μ＝λ＋4μ，∵P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1. 8.（多选）（2025·陕西西安期中）下列命题中，正确的有（　ABC　） A.（－5）（6a）＝－30a B.7（a＋b）＋6b＝7a＋13b C.若a＝m－n，b＝3（m－n），则a，b共线 D.（a－5b）＋（a＋5b）＝2a，则a，b共线 解析： （－5）（6a）＝（－5×6）a＝－30a，A正确；7（a＋b）＋6b＝7a＋7b＋6b＝7a＋13b，B正确；∵a＝m－n，b＝3（m－n），∴b＝3a，∴a，b共线，C正确；∵（a－5b）＋（a＋5b）＝2a恒成立，∴a，b不一定共线，D错误. 9.（多选）在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，G为△ABC的重心，则下列结论中，正确的有 （　BCD　） A.－＝ B.＝＋） C.＋＋＝0 D.＋＋＝0 解析： －＝＋＝2≠，A错误；∵G为△ABC的重心，∴＝＝×＋）＝·（＋），B正确；＋＋＝＋＋）＝0，C正确；连接GD，∵＝＋），∴＝－2＝－2×＋）， 即＋＋＝0，D正确. 二、填空题 10.（2025·重庆阶段练习）如图所示，在正六边形ABCDEF中，－＋＋2＝　0　. 解析： 由题意，根据正六边形的性质得－＋＋2＝－（－）＋2＝＋＋2＝＋＋2＝＋2＝2＋2＝0. 11.（2025·福建厦门高一期中）已知x，y是实数，向量a，b不共线.若（y－2）a＋（x－1）b＝0，则x＋y＝　3　. 解析： ∵向量a，b不共线，又（y－2）a＋（x－1）b＝0，得即∴x＋y＝3. 12.（2025·辽宁铁岭期中）在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点.若＝＋，则m＝　　. 解析： ∵E为AD的中点，∴＝2＝＋2，∵B，D，C三点共线，∴＝λ＋（1－λ），∴＋2m＝1，解得m＝. 13.已知△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是　2∶3　. 解析： ∵＋＋＝，∴＝－－＝＋＋＝2， ∴点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，∴△PBC和△ABC的面积之比为2∶3. 三、解答题 14.（1）化简：（a＋b）－（b－a）＋（0－a）； 解：（1）原式＝a＋b－b＋a－a＝＋＝a＋b. （2）已知i，j为非零向量，设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋2b－a. 解：（2）－＋2b－a＝－a＋b＝－（3i＋2j）＋（2i－j）＝－i－5j. 15.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线.问：是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？ 解：由题意得d＝λa＋μb＝（2λ＋2μ）e1＋（－3λ＋3μ）e2，若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc，即（2λ＋2μ）e1＋（－3λ＋3μ）e2＝2ke1－9ke2， 即（2λ＋2μ－2k）e1＝（3λ－3μ－9k）e2， ∵e1与e2不共线，∴解得λ＝－2μ， 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线. 16.如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，证明：M，N，C三点共线. 证明：＝－， ∵＝，＝＝＋）， ∴＝＋－＝－①， ＝－＝－②， 由①、②可知＝3，即∥， 又MC，MN有公共点M，∴M，N，C三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $