第2章 3 从速度的倍数到向量的数乘-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

§3从速度的倍数到向量的数乘 3.1向量的数乘运算④3.2向量的数乘与向量共线的关系 白题 基础过关 限时：25min 题组1向量数乘的定义与运算律 6.★(2025·广东东莞高一月考)化简 1.设a是非零向量，入是非零实数，下列结 21 论正确的是 (2a+4b)-(4a-b) ( 32 A.a与-入a方向相反B.1-入a|≥1al 7. *北师教材变式若3(x+a)+2(x-2a) C.a与入a方向相同D.1-Aa1=I入Ia 4(x-+b)=0,则向量x= 2.*（多选)(2025·山东潍坊高一月考)已 题组3向量共线的判定 知m,n是实数，a,b是向量，则下列命题中正 8.*(2025·山东青岛高一月考)已知向量a, 确的为 ( b,则“a与b共线”是“存在唯一实数入使得 A.m(a-b)=ma-mb a=入b”的 () B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b A.充分不必要条件 D.若ma=na,则m=n B.必要不充分条件 3.*(多选)如图，设P,Q两点把线段AB三 C.充要条件 等分，则下列向量表达式正确的是 ( D.既不充分也不必要条件 A B 9.*（2025·江西抚州临川一中高一期中)已 A.AP=A店 B.A0=2店 知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则 3 3 C D.AQ=BP A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 题组2 向量的线性运算 4.*(2025·广东汕头高一期中)在矩形ABCD 题组4共线（平行）向量基本定理的简单应用 10.·(2025·江西上饶高一期中)已知e1,e2 中，E为线段AB的中点，则DB-EC= 是两个不共线的向量，向量a=2e1-e2,b= A.AB-2AD B孤0 ke1+e2.若a∥b,则k= () c证而 1 A.-2 B.2 1 C.2 0.2 11,点P满足向量0P=0A-A正，则点P 与AB的位置关系是 ( (第4题) (第5题) A.点P在线段AB上 5.·(2025·山东淄博高一期中)如图，在 B.点P在线段AB的延长线上 △ABC中，AB=a,AC=b,D元=3BD,A正= C.点P在线段AB的反向延长线上 2E元，则DE= D.点P在直线AB外 必修第二册·BS黑白题034 黑题 应用提优 限时：35mim 1.*(2025·江西宜春高一月考)已知向量4,5.*(2025·重庆南岸区高一期中)0是平面 b满足Ia1=2,1b1=1,a与b的夹角为T,则 上一定点，P是△ABC中一动点且满足：OP= 13a+2b|= OA+入(AB+AC),A>0,则直线AP一定通过 A.1 B.2 C.3 D.4 △ABC的 2.*(多选)(2025·陕西咸阳高一期中)已 A.外心 B.重心C.内心 D.垂心 知A,B,C是不重合的三点，则下列结论正确 6.*(2025·江西景德镇一中高一期中)已知 的是 ( 0是△ABC内一点，2OA+30B+m0C=0,若 A.AB=-BA BC △10B与△ABC的面积之比为号，则实数m B.与BC共线的单位向量是 IBCI 的值为 C.若AB=2BC,则A,B,C共线 、9 C.、20 3 D. 20 3 D.若A店=2BC,则AB_2 7.*已知a-b是不共线的向量，OA=入a+ub, 1AC13 0B=3a-2b,0C=2a-3b.若A,B,C三点共线， 3.**(多选)(2025·山东省实验中学高一月 则实数入，μ满足的关系式是 考)正五角星是一个非常有趣、优美的几何图 8.整(2025·河南驻马店高一期中)在四边 形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所 形ABCD中，BC=2AD,点P是四边形ABCD所 示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶，点的多 在平面上一点，满足AB+2PA+7PB+PC+8PD= 边形为正五边形.P7-5-1≈0.618则 AP 2 0,点Q为线段AB的中点，则P四 IADI 9.(2025·江苏无锡高一期中)A,B,C三点 A.C可+T元=D 在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC,M是 B.ES-RO=PA 圆0外一点，OM=2,则1MA+MB+2MC1的最 C.AT+R5=5-1R0 大值是 2 压轴挑战 n顾丙 禁（多选）(2025·江西上饶高一月考)已知 a,b是平面内的两个单位向量，且夹角为0， 4.*(2025·江西上饶高一月考)已知a,b是 平面内两个非零向量，入≠0，那么“a=λb”是 若ms8=2则la-4(a+b)1+(a+h)1e “Ia+λb1=Ial+入Ib1”的 ( R)的值可能为 A.充分不必要条件 2 B.必要不充分条件 >.2 B. 2 C.充要条件 C. D.1 D.既不充分也不必要条件 2 第二章黑白题035形ABCD为平行四边形.又因为IAB1=A1= 1,则四边形ABCD为菱形，如图所示.因为 cos∠DMB=2,0<LDMB<,所以LDAB= 号，所以△MBD为等边三角形，所以1衣1 所以成+d1=d=-2ia1=,1市威=o市 C1=1Bi1=1. 压轴挑战 1.A解析：根据平行四边形法则可知，Ia+b1,Ia-bI是平行四边形的 对角线长，依题意，Ia+b1=1a-b1=2,则平行四边形为矩形，所以以 1al,Ib1,Ia-b|为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为 1a-b1=2,设两直角边长为m,n,则m2+n2=4,则三角形面积S= 方m≤分”1，当且仅当m=aV万时等号成立，则以 Ib1,1a-b1为边长的三角形面积最大值为1. 2.2解析：如图，设=a,B成=b,则A花=a+b,依题意LBAC=年过B 作BD⊥AC,垂足为D,则IB武1mim=IBi1=1A店1sin∠BAC=22× 受-2，即161的最小值是2 §3从速度的倍数到向量的数乘 3.1向量的数乘运算+ 3.2向量的数乘与向量共线的关系 白题基础过关 1.C解析：由于入≠0，所以入2>0，因此a与入2a的方向相同.故选C. 2.AB解析：对于A,根据数乘向量的原则可得m(a-b)=ma-mb 故A正确；对于B,根据数乘向量的原则可得(m-n)a=ma-na,故 B正确；对于C,由ma=mb可得m(a-b)=0,当m=0时也成立，所以 不能推出a=b,故C错误；对于D,由ma=na可得(m-n)a=0,当a= 0时命题也成立，所以不能推出m=n,故D错误故选AB. 3.AB解析：由题图可得P,Q两点把线段B三等分，故-号， d-子应，A,B正确；时=-子，衣=-成，故C,D错误，故选AB 4D解折：-成--市-（函+成）=店-市-(}+ò) 号成-2成 5.+动解折：在△A8c中，心-3成，=2d,-a,花-6， 成-成+成成+（花）子（成-号花高花- 6.2b-2a解桥：号[2(2a+4b)-(a-b)]=号t(a+2b)-(a- b1=号(30-3a=2b-2n 7.4-3a解析：因为3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=x+3a-4b=0,所 以x=4b-3a. 8.B解析：当b=0,a≠0时，满足a与b共线，但是不存在实数入使 得a=入b,故充分性不成立； 存在唯一实数入使得a=入b,则a与b共线成立，即必要性成立. 必修第二册·BS 故“a与b共线”是“存在唯一实数入使得a=Ab”的必要不充分条件 9.A解析：对于A选项，Bi=B元+Ci=(-2a+8b)+(3a-3b)=a+5b A店，故A,B,D三点共线，A对； 对于B选项，因为AB=a+5b,BC=-2a+8b,故AB,BC不共线，即A,B, C三点不共线，B错； 对于C选项，因为A元=A+B元=(a+5b)+(-2a+8b)=-a+13b,C= 3a-3b,所以A元，Ci不共线，即A,C,D三点不共线，C错； 对于D选项，因为BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则BC,CD不共线，即B, C,D三点不共线，D错. 10.A解析：由e1,e2不共线，易知向量ke,+e2为非零向量.由a∥b,可 知存在实数入，使得2e1-e2=A(ke1+e2),即(2-Ak)e1=(A+1)e2: 由e1,e2不共线，必有2-Ak=A+1=0.否则，不妨设2-Ak≠0，则e1= 2由两个向量共线的充要条件知，1，共线，与已知矛盾.由 入+1 2-k=0,解得k=-2. (λ+1=0， 11.C解析：O市=Oi-A店，.O币-Oi=B,.A市=B,.点P在线 段AB反向延长线上， 黑题应用提优 1.D解析：因为a与b的夹角为T,故a=-2b,故13a+2b1= 12al=21a=4. 2.ACD解析：由相反向量的定义可知A正确：与BC共线的单位向量是 BC -,故B错误；由向量共线定理可知，A应，B武共线，又A店，B元有公 IB 共点B,则A,B,C共线，则C正确；由A店=2B武=2A心-2A店可得A店= 子文受子DE珠 3.AD解析：对于A,Cd+市=Pi+T市=T=D,A正确；对于B,感- R=R花-Rd=Q元=-Pi,B错误；对于C,A7+感=S+感=励= 成5+成，C错误：对于D,市-本=戒-本=戒=S感 1R1 ISTI 5+1店，D正确故选AD. 4.D解析：若a=Ab,入≠0，所以Ia+Ab1=1(入+入)b1=I2入IIb1,Ial+ A1b1=1Ab1+AIb1=(IA1+入)1b1,当A>0时，Ia+Ab1=Ia1+入Ib1,当 入<0时，Ia+入b|=-2入Ib1,Ia|+入Ib|=0,此时Ia+Ab|≠Ia1+入Ib1, 故“a=入b”不是“|a+入b1=|a|+入IbI”的充分条件. 因为|a+Ab|≤1a|+|λb1,若1a+Ab1=|a|+入Ib1,则1aI+入|b1≤ lal+Ab1=al+1A|Ib1,当且仅当a,Ab方向相同时取到等号，则 入≤I入I恒成立，故a∥b,但两个向量间的系数不确定，不能推出“a= λb”. 综上可知，“a=Ab”是“1a+Ab1=Ia|+A1b1”的既不充分也不必要 条件. 5.B解析：如图所示，若D为BC中点，由题设可知A市=O市-Oi- A(A+A心)=2AA,因此A与A共线，所以直线AP一定通过△ABC 的重心 (第5题) (第6题) 6.D解析：由20成+30成=-m0花得20+3成=-00元，设 5 5 5 成-0成，则亦号i+成，即0亦-}成}市 子应4，B,D三点共线，如图所示0心与0i反向共线m>0, 黑白题020 m 0品1m.05 SAAOB I0D1 m 105 =m m+5 SAABC ICDI m+5 四方法总结 若A,B,C三点共线，0是平面内不在A,B,C所在直线上的任意 点，则有0元=m0i+n0品，其中m+n=1. 7.A=μ+5解析：因为0i=Aa+b,0i=3a-2b,0t=2a-3b,所以A店= 0-Oi=(3-A)a-(2+)b,B元=0元-0成=-a-b.若A,B,C三点共线， 则A∥B武，即3-入=-(2+u),化简可得入=u+5. 8写解析：因为+2+7防+成+ 8Pi=0,所以P-pi+2P+7P2+P元+ 8Pi=0,所以PA+8Pi+P元+8Pi=0,所B 以PA+PC+8PB+8Pi=0. 取E,F分别为BD,AC的中点，如图，则2P下+16PE=0,即P下= -8p吃，所以戒+求-8正，所以成=-号成 因为Q为AB的中点，所以QE∥AD,QF∥BC.又B武=2A⑦，则AD∥ BC,所以QE∥AD,QF∥AD,所以Q,E,F三点共线，所以E0= 动，耐：之c=市，所以-0亦-0破=动子市}应所以 店动，所以成=店+成：号动，所以1成=号动 马动，所以区=5 1A9 9.10解析：连接AB,如图所示，因为AC1 BC,则AB为圆O的一条直径，故O为AB 的中点，所以MA+M=(Md+Oi)+(Md+ oB)=2Md,所以1Mi+M店+2M元1= I2Mò+2(Md+0元)1=14Md+20元1≤ R 41Md1+210元1=4×2+2×1=10，当且仅当M,0,C共线且Md,0元同 向时，等号成立 压轴挑战 CD解析：如图，设O=a,0成=b,则a+b=0币，设1(a+b)=0元，易知C 在直线oP上，由cs0=子可得L40B=60∠c0B=30,过C作 CD10B,cD1=0c1·s血30=70c1.又a-4(a+b)=0i-0d-d, 则a-(a+b)1+号：(a+b)1=Cd1+10=di+1动1.过A作 40L0B,易知401=10a160=又1d+1≥1401=， 2 故aa0)1子a61≥咨结合选暖，可能取直为我上 QD B §4平面向量基本定理及坐标表示 4.1平面向量基本定理 白题 基础过关 1.AC解析：若A≠0，则e1=片，从而向量e,共线，这与e1,e 参考答案 不共线相矛盾，则入=0，同理可得u=0,故A正确； 由平面向量基本定理可知入，4唯一确定，故B不正确； 平面内的每个向量a可表示成Ae,+ue2的形式，反之也成立，故 C正确： 结合向量加法的平行四边形法则易知，当入e1和e2确定后，其和向 量Ae1+ue2便唯一确定，故D不正确. 2.C解析：对于A,设存在唯一的实数入使e1-e2=A(e2-2e1)= Ae,-2e,则{1此方程无解，故1e,-6,6-2,能作为平面 (1=-2λ， 向量的一组基，故A不符合题意； 1 对于B,设存在唯一的实数A使e-e=入(e12e2)=Ae1 1=入， 2Ae, 1入，此方程无解，故{e12,e12}能作为平 -1=-2λ， 面向量的一组基，故B不符合题意； 对于C,由6e1-4e2=-2(2e2-3e1),所以2e2-3e1与6e1-4e2共线， 故{2e2-3e1,6e1-4e2不能作为平面向量的一组基，故C符合题意； 对于D,设存在唯一的实数A使e1+3e2=A(e1+e2)=Ae1+Ae2,则 {=入此方程无解，故e,+e,e1+302能作为平面向量的一组基，故 3=入， D不符合题意 3.B解析：由图可知，a=OA,b=0i,所以a-b=0A-0=B=e1-3e2 B b70 e e A 4.BC解析：由已知可得BC=Ad-AB=b-a,故D错误； 因为P,Q,R分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点，由Q= 成可威成：子)子放A错误： -d成动+成+2(b-）=a+,放 41 B正确； 成-成市衣应6，板c正确 5.B解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0,b<0.故选B. 6.D解析：如图，因为A店=mD元，所以D元= D 1成，所以A花=A市+D心=市+1感因为A花= m m 入AB+uA⑦(A,AeR),AB,A⑦不共线，所以 As I m'所以4=Am,故选D. 4=1, 四方法总结 (1)A,B,C三点共线问题，利用A=入AC构造方程求参数. (2)已知向量ma+nb与ka+pb(a与b不共线)共线，求参数值的 步骤： ①设ma+nb=λ(ka+pb); ②整理得(m-)a=(p-n)b,故m=, (n=λp; ③解方程组得参数值 6 解析：由题意可得，应-+成-店+子配=+子动-+ 子（子威）应子应 所以a=分6：子所以a-b:石 1 黑白题021