2.3从速度的倍数到向量的数乘（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

2.3从速度的倍数到向量的数乘 题型一 数乘向量的概念 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 3．（23-24高一下·四川成都·期中）对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．存在一个实数，使 D．存在不全为零的实数，，使 【答案】D 【分析】根据共线向量的定义及性质一一判断即可. 【详解】由，可得与方向相同或者相反，或者与中至少一个为零向量，故A、B错误； 当，时满足，但是不存在实数，使，故C错误； 当时，由，可得，令，则，即， 当时，由，可得（存在），故D正确． 故选：D． 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C. 【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确； 对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由可得，同为正或同为负， 所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确； 对于C，，故C错误． 故选：ABD. 5．（23-24高一下·广东江门·期末）(多选)已知两个非零向量，共线，则（     ） A．，或 B．与方向相同或相反 C．与平行 D．存在实数，使得 【答案】BCD 【分析】根据向量共线的定义或向量共线定理即可逐一判断. 【详解】有共线向量的定义可知，共线向量是方向相同或相反的向量，模长不一定需要相等，故A错误，B正确， 共线向量又叫平行向量，故C正确；由向量共线定理可得，存在唯一实数，使得成立，故D正确； 故选：BCD. 题型二 数乘向量的运算与运算律 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 2.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解. 【详解】因为向量不共线，由， 得，即，所以. 故答案为：3 3．（24-25高一下·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减法，数乘运算即可； （2）利用向量的加减法，数乘运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 题型三 向量共线问题 1．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知空间向量且则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用向量加法求出，利用共线向量定理逐一判断即可. 【详解】解：对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ,即 ,无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 2．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】先由得到其等价条件，且，再判断充分条件是否满足即可. 【详解】因表示与同方向的单位向量，故由可得，且， 对于A，由，因，得不到，故A错误； 对于B，当时，若与方向相反，则得不到，故B错误； 对于C，当时，满足，且，故可得出，即C正确； 对于D，当且时，若与是一对相反向量，则得不到，即D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）（多选）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 【答案】BC 【分析】运用向量共线的判定来证明向量是否共线，若共线则得到三点共线，若不共线，则三点不共线. 【详解】，， 假设存在使得，即，即， 因向量，不共线，则，该方程组无解， 故不存在使得，则不共线，故A错误，B正确； ，，则，则共线， 又有公共点，所以三点共线，故C正确，D错误. 故选：BC. 4．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）（多选）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（   ） A．且 B．存在相异实数，使 C．当时， D．已知梯形，其中 【答案】AB 【分析】根据向量的加减运算计算化简得出是否共线判断各个选项即可. 【详解】A．联立和消去向量可得出，且共线； B．都是非零向量，且都不为共线； C．当时，满足，此时对任意的向量都有得不出共线； D．与不一定平行，得不出共线． 故选：AB. 5.（24-25高一下·河南·阶段练习）在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题． (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； (3)若，证明：E，M，F三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，，，，，，，． (3)证明见解析 【分析】利用数形结合，结合向量的线性运算，可得答案. 【详解】（1） 证明：因为E为AB的中点，所以， 则， 故． （2） 由，，则四边形为平行四边形， 由向量的概念可得在四边形ABCD中，与共线的向量有 ，，，，，，，，． （3） 证明：设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 故E，M，F三点共线. 题型四 已知向量共线求参数 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，已知，点在线段上，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将用表示，再根据三点共线，结合平面向量共线定理的推论即可得解. 【详解】当时，三点共线，与题意矛盾，所以， 因为，所以， 则， 因为三点共线， 所以，解得.    故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则 . 【答案】4 【分析】连接，结合题意，利用平面向量的线性运算得到，再由三点共线即可得解. 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 故答案为：4. 3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据三点共线，得到，由此列方程组，解方程组求得的值. 【详解】由于三点共线，所以，即， 所以，解得. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 【答案】 【分析】由共线得到，比较系数即可求解； 【详解】解：因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：， 解得： 故答案为： 5．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由共线向量的线性运算即可求解； 【详解】因为三点共线， 则, 所以, 所以， 对比系数，所以， 故答案为：0 题型五 三点共线在线性表示中的运用 1．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用将用表示，由共线定理推论即可求得. 【详解】因为所以 由, 因三点共线，由共线定理推论可得，解得 故选：A. 2．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 3．（22-23高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由三点共线定理可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）（多选）如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【答案】BC 【分析】利用向量的共线定理即可判断A选项；利用基本不等式即可判断B选项；将转化为，利用二次函数的最值即可判断C选项；利用基本不等式的乘“1”法，即可判断D选项. 【详解】对于A，，因为三点共线， 故，故A错误； 对于B，，故，当且仅当时，等号成立， 故B正确； 对于C，，故， 所以，故C正确； 对于D，， 当且仅当即时，等号成立，故D错误. 故选：BC 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【分析】连接，由已知可得，根据三点共线结论可得，再由基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，连接，    中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 1．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，方法一：延长至点，令，从而可得三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 即. 方法1：，即， 延长至点，令，即三点共线， 则. 方法2：由奔驰定理，，故. 故选B： 2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 3．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）(多选)正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断. 【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且． 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 若，则，不合题意，D错误． 故选：AC 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【分析】根据，，三点共线，可得出存在，使得，从而可得出，根据不共线可得出，从而得出，从而可得出正确的选项． 【详解】因为，，三点共线，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数即可求解． 故选：AB． 5．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）（多选）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解. 【详解】对于A，易得在正八边形中，， 但方向不同，所以不正确，故A错误； 对于B，由，所以正确，故B正确； 对于C，由正八边形的性质知，，且， 根据向量加法法则可知： 为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以， 又与以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量共线， 所以，故C正确； 对于D，在正八边形中，，， 不妨设，又， 所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3从速度的倍数到向量的数乘 题型一 数乘向量的概念 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 3．（23-24高一下·四川成都·期中）对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．存在一个实数，使 D．存在不全为零的实数，，使 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 5．（23-24高一下·广东江门·期末）(多选)已知两个非零向量，共线，则（     ） A．，或 B．与方向相同或相反 C．与平行 D．存在实数，使得 题型二 数乘向量的运算与运算律 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 题型三 向量共线问题 1．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知空间向量且则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 3．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）（多选）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 4．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）（多选）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（   ） A．且 B．存在相异实数，使 C．当时， D．已知梯形，其中 5.（24-25高一下·河南·阶段练习）在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题． (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； (3)若，证明：E，M，F三点共线． 题型四 已知向量共线求参数 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，已知，点在线段上，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2025高一·全国·专题练习）在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则 . 3．（24-25高一下·江苏·阶段练习）设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 题型五 三点共线在线性表示中的运用 1．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 3．（22-23高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）（多选）如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    1．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）(多选)正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 5．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）（多选）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$