精品解析：河南洛阳市某重点中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学学科月考试卷

河南洛阳市某重点中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学学科月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 2. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 3. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值． 【详解】解：的导数为， 可得在点处的切线的斜率为， 由切线与直线垂直，可得， 解得， 故选：． 4. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 5. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项. 【详解】， 令，所以在和上单调递增， 又当时，，. 故选：C 6. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 7. 已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（　 　） A. （1，+∞） B. [1，+∞） C. （﹣∞，0） D. （﹣∞，0] 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据ef（x）＞ex，构造函数，对其求导判断单调性即可。 【详解】由题意得：令 因为f'（x）＞f（x），所以，即在R上为增函数，因为ef（x）＞ex 即,所以 故选:A 【点睛】本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构造出新的函数，属于中等题。 8. 函数在上存在单调递增区间，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据存在单调递增区间得出，使得，进而应用参数分离即可计算求解. 【详解】因为，所以， 因为函数在上存在单调递增区间， 所以，使得，所以， ，设，故需小于函数在上的上界， 因为，所以， 则，所以． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数求导错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 分析】根据导数公式及复合函数求导计算判断即可. 【详解】对于A：，A选项错误； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项错误. 故选：ABD. 10. 已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间和上，函数均是减函数 B. 为函数的零点 C. 为函数的极小值点 D. 为函数的最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】分别在每一段区间上讨论的正负，由此可得的正负，从而得到单调性；结合极值点、零点和最值的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，，又，； 当时，，又，； 在和上均为减函数，A正确； 对于B，根据图象可知是的零点，但无法确定，B错误； 对于C，由A知：在上为减函数； 当时，，又，； 上单调递增，又，， 是的极小值点，C正确； 对于D，当时，，又，； 在上单调递减，又在上单调递增， 是的极大值，无法确定是最大值，D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确； 对A，，令可得和， 解得和，故的单调减区间是，，故A正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C错误； 对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出曲线在处的导数值即切线斜率，即可得出方程. 【详解】，， 在点处的切线的斜率， 则切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知函数满足在处导数为__________. 【答案】# 【解析】 【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值. 【详解】, ， ， . 故答案为：. 14. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得. 【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 令，则. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）设，求的最值． 【答案】（1）的单增区间为和，单减区间为. （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出的单调区间；（2）根据单调性，求出端点值和极值，即可得到的最值． 【小问1详解】 函数的导函数为. 当和时，有，所以单调递增；当时，有，所以单调递减. 即的单增区间为和，单减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知：在上递增，在上递减，在上递增. 又，； ，. 所以在上的最小值为，最大值为. 17. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）极大值是，极小值是； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【小问1详解】 ，由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以极大值是，极小值是； 【小问2详解】 由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 18. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【小问1详解】 由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增. 若a＜0，则当时，时；当x∈时，. 故f（x）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为. 所以等价于，即. 设g（x）=lnx-x+1，则. 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即. 【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南洛阳市某重点中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学学科月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 设，若，则（ ） A B. C. D. 3. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 5. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上不单调，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（　 　） A. （1，+∞） B. [1，+∞） C. （﹣∞，0） D. （﹣∞，0] 8. 函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数求导错误是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间和上，函数均是减函数 B. 为函数的零点 C. 为函数的极小值点 D. 为函数的最大值 11. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为______. 13. 已知函数满足在处导数为__________. 14. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）设，求的最值． 17. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 18. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $