精品解析：河南安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025-2026学年下学期高二年级第一次联考数学试卷

安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025～2026学年下学期 高二年级第一次联考数学学科试卷 时间：120分钟 总分：150分 命题学校：安阳市一中 命题人：朱立军 审题人：陈杜斌 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡（卷）上.写在本试卷上无效. 3．考试范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章～第七章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 2. 若函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， ，其中是常数， 所以 ，整理得：， 所以， 所以. 3. 用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A. 324 B. 224 C. 360 D. 648 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理，先排个位，有种，然后排十位和百位，有种，即可得解. 【详解】先排个位，有种，然后排十位和百位，有种， 故共有（个）没有重复数字的三位偶数． 故选：B 4. 已知随机事件A，B，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 5. 已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式结合等差中项的性质求出，再结合已知条件，利用基本不等式求的最大值． 【详解】由题意得，解得， 由等差中项的性质可得，解得， ， 由题意知， 根据基本不等式，当且仅当时等号成立， 的最大值为． 6. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 7. 已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式可求的取值范围. 【详解】由题设，定义域为，则可得， 令，则， 所以时,，即递增， 时，，即递减， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当，且时，， 而恒过，函数图象如下： 要使有且只有两个整数解， 则与必有两个交点， 若交点的横坐标为，则，， 所以，即， 所以的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. （4）考查数形结合思想的应用． 8. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得即求取出的4个球为3白1黑、2白2黑和1白3黑的概率,由此求解即可. 【详解】由题意可得取出的球的情况有： 4白0黑，此时分； 3白1黑，此时分； 2白2黑，此时分； 1白3黑，此时分； 0白4黑，此时分； 由，可得， 即求取出的4个球为3白1黑、2白2黑和1白3黑的概率, 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等比数列中，，公比为q，则（ ） A. q＝±2 B. ＝±12 C. 是公比为4的等比数列 D. 是公比为2的等比数列 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，由得，所以数列是公比为4的等比数列，故C正确； 对于D，当时，，所以数列是公比为4的等比数列，故D错误. 10. （多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件B与事件不相互独立 D. ，，两两互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用全概率公式计算判断A；利用条件概率公式计算判断B；利用独立事件的定义判断C；利用互斥事件的定义判断D. 【详解】依题意，，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 则，事件与事件不相互独立，C正确； 对于D，事件、、中的任意两个事件都不可能同时发生，因此事件两两互斥，D正确. 故选：BCD 11. 设函数，函数有三个零点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 恒成立 B. 实数m的取值范围是 C. 函数的单调减区间 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值，可以判断选项B，C；对于A，结合函数的图象以及零点的位置进行判断；对于D，要证得是否成立，只需证得，即是否成立，令，利用导数求出函数的单调区间，证得，从而证得结果. 【详解】当时，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在时取得极大值，极大值为. 当时，，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在时取得极小值，极小值为. 如图， 对于B，如图，函数有三个零点，实数m的在极大值和极小值之间，即取值范围是，故B正确； 对于A，如图2，函数有三个零点，，则，故A错误； 对于C，函数的单调减区间即为的单调减区间，在区间，上单调递减，. 当时，由洛必达法则，，所以时，， 所以的单调减区间为，即的单调减区间为，故C正确； 对于D，若，如图2，在上单调递减，在上递增，则 由正实数，且，，得， 当时，令， ， 即在上递减， 于是有，即，，又，， 从而有，在上递增，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的等式，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再利用导数判断函数的单调性，从而求其最值． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得，所以的系数是. 故答案为： 13. 已知数列满足，，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，按为奇数和偶数分类变形，可得，由此求出，再求解即可. 【详解】由，用分别替换， 得，， 联立，解得， 所以，联立,得. 由，，得， 所以， 又因为时，代入，得， 所以，故， 故答案为：5. 14. 已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线l与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，两边同乘  得：①， 由可得，即，代入①可得 ，即； 又由可知，， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用前项和性质化简，即可得到通项； (2)利用裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 已知①， 当时，②， ① −②得：，又， 代入化简得，， 则， 【小问2详解】 由，则，  所以， 故. 16. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可得出答案； （2）分，，和四种情况讨论，再结合已知即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， ， 因为，所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知，当，是的极小值点，不符合题意； 当时，在上恒成立，不符合题意； 当时，， 若时，，若或时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则为的极小值点，不符合题意； 当时，， 若时，，若或时，； 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则为的极大值点，符合题意． 综上所述，的取值范围为． 17. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【小问1详解】 对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； 【小问2详解】 由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 18. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出； （2）利用错位相减法求出； （3）利用放缩法和裂项相消法求和可得答案. 【小问1详解】 由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； 【小问2详解】 由（1），设， 则， 将以上两式相减得 ， ； 【小问3详解】 ， ， ， . 结论得证. 19. 已知函数f（x）＝，g（x）＝． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在，使得f（x）－ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）已知，方程f（x）＝g（x）在内的根从小到大依次为，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先对求导，再分析导函数在内的符号，根据导数与单调性的关系得出结论； （2）先将不等式变形为关于的不等式，再分析在该区间的符号，构造新函数，通过求导判断新函数在区间内的最值，进而确定的取值范围； （3）构造函数，分析的周期性相关性质，再结合的区间特点，通过比较与的大小，利用函数单调性得出结论. 【小问1详解】 对求导得：， 恒成立，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 题目等价于：存在，使得成立，即， 设， 求导化简得：， 因此在上单调递减，最大值为：， 故的取值范围为； 【小问3详解】 对任意，令， 代入方程得：， 记， 求导得在恒成立， 故单调递减，且， 因此方程在每个内有且只有一个根，该根可表示为，其中， 对任意，有， 又单调递减，， 因此：，即是递增数列， ， 由得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳一中、鹤壁高中、新乡一中三校2025～2026学年下学期 高二年级第一次联考数学学科试卷 时间：120分钟 总分：150分 命题学校：安阳市一中 命题人：朱立军 审题人：陈杜斌 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡（卷）上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡（卷）上.写在本试卷上无效. 3．考试范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章～第七章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 2. 若函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A. 324 B. 224 C. 360 D. 648 4. 已知随机事件A，B，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则＝（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等比数列中，，公比为q，则（ ） A. q＝±2 B. ＝±12 C. 是公比为4的等比数列 D. 是公比为2的等比数列 10. （多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件B与事件不相互独立 D. ，，两两互斥 11. 设函数，函数有三个零点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 恒成立 B. 实数m的取值范围是 C. 函数的单调减区间 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 13. 已知数列满足，，则__________. 14. 已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求． 16. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若是的极大值点，求的取值范围． 17. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 18. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，求证：． 19. 已知函数f（x）＝，g（x）＝． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在，使得f（x）－ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）已知，方程f（x）＝g（x）在内的根从小到大依次为，试比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $