精品解析：2026年山东省济南市天桥区复习诊断测试数学试题

2026年九年级复习诊断模拟测试 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将学校、班级、姓名填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 25的算术平方根是 A. 5 B. C. D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据“算术平方根”的定义进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是5. 故选A. 【点睛】熟记“算术平方根”的定义：“对于一个非负数x，若x2=a，则x叫做a的算术平方根”是解答本题的关键. 2. 下面几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看到的图形为主视图，逐一判断即可． 【详解】解：A、主视图为等腰三角形，不符合题意； B、主视图为圆，不符合题意； C、主视图为等腰梯形，不符合题意； D、主视图为矩形，符合题意；   故选：D． 3. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 4. 人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项符合题意； C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 5. 已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，先求出正多边形的一个外角是，再用外角和除以外角即可得到边数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正十二边形， 故选D． 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，合并同类项，同底数幂的乘法运，乘法分配律，理解相关知识是解答关键． 利用积的乘方和幂的乘方的运算法则来求解A；根据合并同类项来求解B；根据同底数幂相乘，底数不变指数相加来求解C；根据乘法分配律来求解D． 【详解】解：A．，此项计算正确，符合题意； B．不是同类项，不能合并，此项错误，不符合题意； C．，此项计算错误，不符合题意； D．，此项计算错误，不符合题意． 故选：A． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴， 解之，得． 故选：B． 8. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 9. 如图，在中，．按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线交边于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作直线交于点．则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质进行求解． 【详解】解：根据尺规作图操作可得，平分，垂直平分线段， ∴点到边的距离相等， ∴， ∴． 10. 如图，直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论： ①； ②时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大； ③当时，； ④有可能成为等边三角形； ⑤的解集为； 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②⑤ C. ②③④ D. ①②④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据直线和抛物线的图象和性质求解； ②根据直线和抛物线的图象和性质求解 ③根据直线和抛物线的图象交点求解 ④根据抛物线的对称性进行求解； ⑤根据直线的对称性得出，关于轴对称的直线解析式为，然后确定交点，根据图象交点进行求解． 【详解】解：①∵直线与轴交于正半轴， ∴； ∵抛物线开口向上， ∴； ∴， 故①正确； ②当时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大， 故②正确； ③∵点的横坐标是，点的横坐标是3， ∴由图象可得当时，， 故③错误； ④若为等边三角形，则， ∴点关于轴对称， 则，，与矛盾， ∴不可能成为等边三角形， 故④错误； ⑤直线关于轴对称的直线解析式为， ∵直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3， ∴直线与抛物线交于两点，且两点的横坐标是，点的横坐标是2， ∴的解集为， 即的解集为， 故⑤正确； 综上，正确的结论是①②⑤． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 当______时，分式的值为0． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件． 分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且， 故答案为：8． 12. 如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积之比，掌握几何概率的求法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 13. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是_______． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和，熟练应用平行线的性质进行求解是解题的关键． 根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴． 故答案为： ． 14. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 15. 在边长为1的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、矩形的判定和性质和一元二次方程的求解，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据题意可知，，，过点作于，作于，证明四边形为矩形，设，，在和中，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知：，，， 过点作于，作于． ∵， ∴四边形为矩形， 设，． 在中， ， 在中， ， 联立得 ， 代入中得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用有理数的乘方，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及求一个数的绝对值法则进行求解． 【详解】解：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】所有整数解有：0，1，2 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，并确定整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式①②的解集如下： ∴原不等式组的解集是， ∴它的所有整数解有：0，1，2． 18. 如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】略 19. 实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2、图3是其侧面抽象示意图．立柱且立柱垂直水平桌面．为摄像头，可绕点旋转，且． （参考数据：） （1）当与水平桌面平行时，如图2，投影宽度，投影线，求摄像头的广角及的度数； （2）如图3，将绕点旋转，在旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，当，求投影宽度的长（结果保留一位小数）． 【答案】（1），； （2）此时的投影宽度的长约为 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再得到，解直角三角形求出，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，易证四边形是矩形，求出，通过解直角三角形求出，，再解直角三角形求出；，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，依题意． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 答：摄像头的广角的度数约为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ， ∴． 即此时的投影宽度的长约为． 20. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，与相切于点． （1）求证：； （2）若．求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出直角，根据等边对等角以及直角三角形的性质得出，根据等角对等边即可得出结论； （2）连接，根据直径定理得出直角，根据直角三角形的性质得出，证明，得出，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，最后代入可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 21. 泡泡玛特某门店为了更好把握消费者心理，对公司旗下大热产品：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．随机采访20名顾客，让他们分别给“星星人”和“拉布布”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在组中的数据是：91，92，92，92，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 拉布布 92 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为_________度； （3）据调查，一般情况下，只有对“拉布布”打分不低于95分的顾客才有购买意愿，这些人中有的人会购买“拉布布”，该门店预估本周末客流量会达到1000人，货源充足的情况下请你估计会有多少人购买“拉布布”？ 【答案】（1）94，93，40 （2）108 （3）若本周末该门店客流量会达到1000人，货源充足的情况下估计会有300人购买“拉布布” 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数等定义进行求解； （2）利用乘其百分比即可求出圆心角度数； （3）根据样本频数估计总体频数即可． 【小问1详解】 解：∵“星星人”得分中94出现的次数最多， ∴众数； 通过扇形统计图可得，“拉布布”得分数据中，组有（个）， 组有（个），组数据有6个， ∴中位数位于组中，为组数据排序后的第4个和第5个的平均数， 即； ∴“拉布布”得分数据中组数据个数为（个）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：若本周末该门店客流量会达到1000人，货源充足的情况下估计会有300人购买“拉布布”． 22. 马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的两款马面裙备受消费者青睐，两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定两款马面裙共2400件，且款马面裙数量不超过款马面裙数量的，已知款马面裙进价为100元/件，款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 【答案】（1）3月份两款马面裙的销量分别为件和件 （2）网店购进款马面裙件，款马面裙件，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设销量为件，销量为件，根据题意列出方程进行计算即可； （2）设购进款件，故款为件，根据题意列出一次函数表达式并根据一次函数性质求出最大值即可求出答案． 【小问1详解】 解：设销量为件，销量为件， 由题意得：，解得， 答：3月份两款马面裙的销量分别为件和件； 【小问2详解】 解：设购进款件，故款为件，总利润为元， 依题意得，， 解得， 由题意得：， 即， 因， 则随的增大而增大， 时，元， 此时件． 答：网店购进款马面裙件，款马面裙件，最大利润为元． 23. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）①； ②的坐标为或； ③点不是点关于点的的“正旋点”，理由如下： 如图3，过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立解析式得， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为． ∵，， ∴， ∴点不是点关于点的的“正旋点”． 【解析】 【分析】（1）根据新定义，利用旋转的性质得出相等的边，利用等边三角形的判定和性质以及勾股定理进行求解； （2）①假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， 根据直线解析式求出点的坐标，确定线段的长度，证明，根据对应边成比例求解； ②作轴于点，轴于点，证明，得出，设点的坐标是，则，表示出的坐标为，然后代入反比例函数解析式求解即可； ③过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则，证明，得出，求出直线的解析式为，联立解析式求出点的坐标为，然后根据勾股定理求出，，进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，若点的坐标为，根据旋转的性质得， ∴点关于点的正垂旋点坐标是； 如图所示，令点为点关于点旋转的正旋点，过点作轴于点， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴点关于点旋转的正旋点坐标是； 【小问2详解】 解：①如图1所示，假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； 当时，， 解得， ∴， ∴； ∵点的横坐标为6， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上一动点， ∴点的横坐标为， 将代入得， ， ∴点的坐标为； ②如图所示，作轴于点，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标是，则， ∴，， ∴的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴， ∴， 解得：． ∴的坐标为或； ③略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．点为抛物线上一动点（点不与点重合）． （1）求抛物线的函数表达式，并求出点的坐标； （2）设点的横坐标为，抛物线上点之间的部分（含、）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； （3）连接、、，若的内角或中至少有一个角与相等．请直接写出点的坐标． 【答案】（1），点的坐标为； （2）的值为或； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）把点代入中建立方程组求解即可得答案； （2）由（1）知抛物线的顶点坐标为，设点P的坐标为，分以下两类讨论：当点在轴左侧时，点在轴右侧时，分别求解即可； （3）分两种情况：当在轴左边时，当在轴右边时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入中，得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的顶点坐标为， 设点的坐标为，由图象的最高点和最低点的纵坐标之差为，可分以下两类讨论： 当点在轴左侧时，有，解得（舍去），， 当点在轴右侧时，有，解得（舍去），，综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：当在轴左边时，只有，如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴的解析式为， 过点作直线交轴于点， ∴设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交轴于点，作于点，交于点，作轴于点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 故点坐标为，再把点坐标代入直线解析式中， 即， 解得， 即 则直线的解析式为， 联立抛物线，得， 整理得， ∴ 解得：， ∴点的坐标为 当在轴右边时，只有，如图， 作轴，延长至点， ， ， ， 作于点，交于点，作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和， ∴， ， ， ∴ ∴点的坐标为， 设直线的表达式为，把代入得： ， 解得： ∴直线的表达式为， 联立抛物线，得， 整理得，解得（舍），， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为 或． 25. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？ 小明说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”； 小强说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段，，数量关系”． 小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”． 请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段，，的数量关系． 【类比分析】 （2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答． 如图3，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，，即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，从而可得出结论． （3）连接，在上截取，过作于，先证明，得，从而求得．由（1）得是等边三角形，，则，，，所以．然后解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．如图1， ，． 是等边三角形， ，． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ，即． 在和中， ， ． ，， ． ． ， ． （2）证明：在上截取，连接．如图2， ，． 是等边三角形， ，． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ，即 在和中， ， ． 又为等边三角形， ． ， ． （3）解：连接，如图3． 线段绕点逆时针旋转得到线段． ，， 是等边三角形． ， 为中点， ． 在中，， ，于． ， ． 又， ，即， ， ， ， ． 在上截取，由（1）得是等边三角形，． ，，， ． 过作于， ， ． ， ，， ． 四边形的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．本题综合性较强，正确作出辅助线，构造全等三角形、相似三角形与直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级复习诊断模拟测试 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将学校、班级、姓名填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 25的算术平方根是 A. 5 B. C. D. 25 2. 下面几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线交边于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作直线交于点．则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论： ①； ②时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大； ③当时，； ④有可能成为等边三角形； ⑤的解集为； 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②⑤ C. ②③④ D. ①②④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 当______时，分式的值为0． 12. 如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是______． 13. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是_______． 14. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 15. 在边长为1的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 19. 实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2、图3是其侧面抽象示意图．立柱且立柱垂直水平桌面．为摄像头，可绕点旋转，且． （参考数据：） （1）当与水平桌面平行时，如图2，投影宽度，投影线，求摄像头的广角及的度数； （2）如图3，将绕点旋转，在旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，当，求投影宽度的长（结果保留一位小数）． 20. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，与相切于点． （1）求证：； （2）若．求的长． 21. 泡泡玛特某门店为了更好把握消费者心理，对公司旗下大热产品：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．随机采访20名顾客，让他们分别给“星星人”和“拉布布”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在组中的数据是：91，92，92，92，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 拉布布 92 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为_________度； （3）据调查，一般情况下，只有对“拉布布”打分不低于95分的顾客才有购买意愿，这些人中有的人会购买“拉布布”，该门店预估本周末客流量会达到1000人，货源充足的情况下请你估计会有多少人购买“拉布布”？ 22. 马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的两款马面裙备受消费者青睐，两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定两款马面裙共2400件，且款马面裙数量不超过款马面裙数量的，已知款马面裙进价为100元/件，款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 23. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．点为抛物线上一动点（点不与点重合）． （1）求抛物线的函数表达式，并求出点的坐标； （2）设点的横坐标为，抛物线上点之间的部分（含、）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； （3）连接、、，若的内角或中至少有一个角与相等．请直接写出点的坐标． 25. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？ 小明说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”； 小强说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段，，数量关系”． 小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”． 请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段，，的数量关系． 【类比分析】 （2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答． 如图3，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $