精品解析：2025年山东省济南市天桥区九年级中考一模数学试题

济南市天桥区中考一模 2025年九年级教学诊断测试数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在2，，，四个数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 第三十三届夏季奥运会中，来自全球206个国家和地区的代表团的10500位运动员齐聚巴黎，向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴．中国体育代表团在这次奥运会中获得40枚金牌，27枚银牌和24枚铜牌的好成绩．其中用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 8. 甲、乙两人在2025年新上映的四部热门电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没重启未来》《封神第二部：战火西岐》中各自随机选择了一部影片观看（两人选择每部电影的机会均等），则两人恰好选择同一部影片进行观看的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 上午点接通电源，可以保证当天水温为 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 10. 对于实数a，b，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（ ） ①方程的解为或； ②关于x的方程有三个解，则； ③当时，y随x增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 分解因式：x2-5x=___． 12. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率为0.2，则袋中约有红球_______个． 13. 在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 14. 如图，扇形纸扇完全打开后，扇形的面积为，，则的长度为____________ 15. 如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为______． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 19. 【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 20. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 21. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息： 的成绩为：71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． 创意设计比赛 科技竞赛 甲的成绩 95 90 乙的成绩 92 95 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩按的比例确定这次活动每个人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下，通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 22. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 23. 物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的函数．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的关系，进行了6次测量．如表为测量时所记录的一些数据．在数据分析中，有一位同学发现一个数据y有错误，重新测量后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 x 0 10 20 30 40 50 y 6 9 12 17 18 21 （1）你认为表中第_____次数据y是错误的？正确的值是_____． （2）观察表中数据，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式． （3）当弹簧长度为30厘米时，求所挂物体的质量． （4）若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为；第二次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为，当时，的值为______． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（、为常数且）． （1）若抛物线经过点、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）在（1）的条件下，当直线：与抛物线交于点、时（点在点的左侧），位于直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若抛物线的对称轴为直线，当直线与抛物线有两个交点时，直接写出的取值范围． 25. 在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：①折叠三角形纸片，使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平；②将绕点顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，当直线与边相交时交点为． 【数学思考】如图1： （1）折痕的长为________； （2）试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （3）如图2，当直线经过中点时，求此时的长度； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，当时，是否存在点，若存在，请求的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南市天桥区中考一模 2025年九年级教学诊断测试数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在2，，，四个数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数的大小比较，正数大于0，0大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：，， ∴， ∴在2，，，四个数中，， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 3. 第三十三届夏季奥运会中，来自全球206个国家和地区的代表团的10500位运动员齐聚巴黎，向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴．中国体育代表团在这次奥运会中获得40枚金牌，27枚银牌和24枚铜牌的好成绩．其中用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．利用两直线平行，同旁内角互补得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∴， 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则求出，再根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 7. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选：B． 8. 甲、乙两人在2025年新上映的四部热门电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没重启未来》《封神第二部：战火西岐》中各自随机选择了一部影片观看（两人选择每部电影的机会均等），则两人恰好选择同一部影片进行观看的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率，列表法和画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；熟记概率公式是解题的关键，概率为所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没重启未来》、《封神第二部：战火西岐》四部影片分别记为，画树状图如下： 由树状图可知：共有16种等可能的结果，其中甲、乙二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种， ∴两人恰好选择同一部影片进行观看的概率 故选：C． 9. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 上午点接通电源，可以保证当天水温为 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故C不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故D符合题意． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，故C选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 10. 对于实数a，b，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（ ） ①方程的解为或； ②关于x的方程有三个解，则； ③当时，y随x增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、二次函数的图象与性质，解本题的关键在理解新定义运算法则，并熟练掌握二次函数的图象与性质．根据新定义运算法则，列出一元二次方程，解出即可得出符合题意的解，即可判断结论①；根据新定义运算法则，得出二次函数，然后根据函数解析式得出二次函数图象，即可判断结论②；根据新定义运算法则，结合二次函数的性质，即可判断结论③④，综合即可得出答案． 【详解】解：在方程中， 当时，即，则， 解得：或， 当时，即，则， 解得：或（都不符合题意，舍去）， ∴综上所述，方程的解为或，故结论①正确； 当时，即，则，即， 当时，即，则，即， 如图，当时，方程有三个解，故结论②错误； 函数中， 当时，则，即，结合图象可知：随增大而增大，故结论③正确； 当时，函数，函数没有最大值，故结论④错误， 综上所述，正确结论为①③，有2个正确结论． 故选：B． 第II卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 分解因式：x2-5x=___． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式x分解因式即可． 【详解】解：x2﹣5x=x（x﹣5）． 故答案为x（x﹣5）． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 12. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率为0.2，则袋中约有红球_______个． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率的知识估算出红球的个数． 根据白球个数和频率，可以估算出球的总数，然后即可计算出红球个数． 【详解】解：由题意可得， 袋中约有红球：(个)， 故答案为：32． 13. 在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题关键． 根据随的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得：， ∵k为正整数，则的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，扇形纸扇完全打开后，扇形的面积为，，则的长度为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式、解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．设，则．由题意，解方程即可． 【详解】解：设， ． 由题意， 解得，（负值舍去）， ． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，点是的中点，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长到点，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ∵是的中点 则是的中位线， ∴， 当取最小值时，有最小值， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， 又， ∴， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用轴对称求最值是解题的关键． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、去绝对值，再算加减即可． 【详解】解：原式 ； 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】，不等式组的所有正整数解是1，2，3 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先解不等式，再求出不等式组的解集，最后判定正整数解即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集是， ∴该不等式组的所有正整数解是1，2，3． 18. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 19. 【问题背景】某学习小组研究一种手提电脑支架设计的科学性，如Ⅲ-11①所示，它的侧面可视作如图②，为底板，为支撑杆，为电脑托板，分别可绕转动，测得，． 【实验研究】绕支点转动，调节角度，测量数据，数学推算． 任务1：若，，求此时电脑托板的最高点离底板的距离（精确到，）． 【应用研究】为了适应个性化需要，增强舒适度，进行应用研究． 任务2：陈老师工作时习惯于把电脑打开成大于角（如图③，）．现小甬同学为陈老师准备电脑，把电脑展开后发现电脑屏幕垂直于底板，量得，点到底板的距离是，问这样是否符合陈老师的工作习惯？说明理由．（参考数据：，，） 【答案】任务1：点离底板的距离约为；任务2：不符合陈老师的工作习惯，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形的外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1：过作于，过作于，过作于，在中，解直角三角形得出的长，在中，解直角三角形得出的长，从而得出的长，即可得出答案； 任务2：延长交于，过作于，利用正弦的定义得出的度数，结合平行线的性质以及三角形外角的定义及性质得出的度数，即可得解． 【详解】解：任务1：如图①，过作于，过作于，过作于， 在中，． 在中，， ， 即点离底板的距离约为． 任务2：如图②，延长交于，过作于， 在中，，． ， ， ， 不符合陈老师的工作习惯． 20. 如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵的半径为3，则，， 在中， ，，， ， ，， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 21. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含创意设计比赛、科技竞赛两个项目．为了解学生的创意设计水平，从全校学生的创意设计比赛成绩中随机抽取部分学生的创意设计比赛成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息： 的成绩为：71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． 创意设计比赛 科技竞赛 甲的成绩 95 90 乙的成绩 92 95 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的创意设计比赛成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩按的比例确定这次活动每个人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的创意设计比赛成绩与科技竞赛成绩（单位：分）如下，通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】（1）见解析 （2）78 （3）600人 （4）乙 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体，加权平均数，掌握基础的统计知识是解本题的感觉． （1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分（含80以上）的人数百分比即可得到答案； （4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可． 【小问1详解】 解：∵，而有20人， ∴有（人）， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：∵， 而的成绩为： 71，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，79． ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：78，78； 中位数为（人）， 故答案为：78； 【小问3详解】 解：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80（分）的人数为： （人）， 答：估计全校1500名学生的创意设计比赛成绩不低于80（分）的人数为600人； 【小问4详解】 解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴乙的综合成绩更高 22. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元 问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买个B种书架， ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ， 解得：， ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ， 即， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架． 23. 物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的函数．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的关系，进行了6次测量．如表为测量时所记录的一些数据．在数据分析中，有一位同学发现一个数据y有错误，重新测量后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 x 0 10 20 30 40 50 y 6 9 12 17 18 21 （1）你认为表中第_____次数据y是错误的？正确的值是_____． （2）观察表中数据，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式． （3）当弹簧长度为30厘米时，求所挂物体的质量． （4）若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为；第二次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为，当时，的值为______． 【答案】（1）4，15 （2） （3）所挂物体的质量为80千克 （4）4.2 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）观察表中数据，发现规律即可得解； （2）观察表中数据的规律，即可判断它们是否在同一条直线上，利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）将代入（2）中求得的函数表达式，求出对应x的值即可； （4）将，和，分别代入（2）中求得的函数表达式，两式相减并将代入即可求出的值． 【小问1详解】 解：观察表中数据，发现x每增加10，y增加3，即可知表中第4次数据y是错误，正确的值是， 故答案为：4，15； 【小问2详解】 解：它们在同一条直线上， 设这条直线所对应的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入． 得， 解得， ∴这条直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， ∴当弹簧长度为30厘米时，所挂物体的质量为80千克； 【小问4详解】 解：根据题意，得①，②， ②-①，得， ， ． 故答案为：4.2． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（、为常数且）． （1）若抛物线经过点、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）在（1）的条件下，当直线：与抛物线交于点、时（点在点的左侧），位于直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若抛物线的对称轴为直线，当直线与抛物线有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图形上点的坐标特征，三角形的面积以及二次函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，以及交点问题是解题的关键． （1）将点、代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）由（1）可得，联立得出，，过点作轴的平行线，交于点，得出，当时，取得最大值，则面积最大，进而求得点的坐标，即可求解． （3）联立，根据直线与抛物线有两个交点时得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：将点、代入得 解得： ∴抛物线对应的函数表达式为 【小问2详解】 解：∵， ∴ 联立 解得：或 ∴， 如图所示，过点作轴的平行线，交于点， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，取得最大值，则面积最大 此时 ∴ 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴抛物线 联立 消去得， 即 ∵直线与抛物线有两个交点时 ∴ 即 当时，解得：或 设，抛物线开口向上， ∴当时， 或 25. 在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：①折叠三角形纸片，使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平；②将绕点顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，，当直线与边相交时交点为． 【数学思考】如图1： （1）折痕的长为________； （2）试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （3）如图2，当直线经过中点时，求此时的长度； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，当时，是否存在点，若存在，请求的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）的长度为或 【解析】 【分析】（1）先求得，根据中位线的性质求解即可； （2）连接，证即可得证； （3）先证，在中利用勾股定理即可； （4）分别求出和，根据在的左边和右边两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴ ∵点C和点A重合， ∴是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，证明如下： 连接， 由旋转的性质，得， ， ， 在和中，， ， ； 【小问3详解】 解：连接， ． ． 由题易得 由题意知为的中位线， ，， ， 在中，， 在和中， ， ； 【小问4详解】 解：存在点M， 第一种情况：如图3， ， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ， ； 第二种情况：如图4 ， ， ， ，， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形，中位线的性质，正方形的性质与判定、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $