专题02勾股定理基础与几何综合专项训练(9大题型+题型突破) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题02勾股定理基础与几何综合专项训练 题型1.勾股定理基础计算 题型2.勾股定理的证明方法 题型3.勾股定理与无理数 题型4.平面直角坐标系中两点间距离 题型5.勾股定理与网格问题 题型6.勾股定理与折叠问题 题型7.勾股定理与图形面积(含弦图) 题型8.勾股树相关计算 题型9.勾股定理与线段平方关系 解答题6题 题型1.勾股定理基础计算 1．在中，两直角边长分别是、，则斜边的长是（  ） A． B． C． D． 2．如图，小明在数轴上作，使得，，，再以点O为圆心以长为半径作弧，交数轴正半轴于点G，则点G在数轴上对应的数是_____． . 3．如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 4．如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 题型2.勾股定理的证明方法 5．如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（　　） A．秦九韶 B．祖冲之 C．赵爽 D．杨辉 6．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 7．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号）    8．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 题型3.勾股定理与无理数 9．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_____． 11．如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 _________________ ． 12．下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 题型4.平面直角坐标系中两点间距离 13．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 14．在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为________． 15．点和点之间的距离是_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 题型5.勾股定理与网格问题 17．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是______． 19．如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A对应的数为1，以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为_____． 20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 题型6.勾股定理与折叠问题 21．如图，小娜将一张长为16cm，宽为12cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3，CD=4，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　　） A．5cm B．12cm C．13cm D．15cm 22．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则___________ ． 23．如图，在长方形中，，，点为边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的长为___________． 24．如图，在中，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上，则折痕的长是（    ） A．5 B． C． D． 题型7.勾股定理与图形面积(含弦图) 25．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 26．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 27．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）    A． B． C． D． 28．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 29．新考法  如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为________． 30．如图1，在中，，分别以为边，向形外作等边三角形，所得等边三角形的面积分别为，请解答以下问题： （1）满足的数量关系是 ________ ； （2）现将向上翻折，如图2，若阴影部分的面积，则_____ ． 31．第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 32．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为____寸． 题型8.勾股树相关计算 33．下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 34．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 35．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，则正方形的面积之和为___________． 36．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 题型9.勾股定理与线段平方关系 37．在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 38．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 39．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 40．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形……依此规律，则点的坐标是________． .解答题 41．如图，四边形是汉丰湖某处的休闲步道．经测量，点B在A的正南方向，点D在A的西南方向，点C在B的正西方向，米，米，点D在点C的北偏西方向上． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)周末，小明和父亲在C处晨练，晨练结束后两人同时步行到A处，已知：小明速度为70米/分，沿的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：，） 42．如图，在平面直角坐标系中，点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，连接，，． (1)直接写出点A，点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，运动到点O停止．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻使，若存在，请求出时间t，并说明理由． 43．如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 44．如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． (1)直角三角形的三边中有一边长是无理数； (2)直角三角形的三边中有两边长是无理数； (3)直角三角形的三边长都是无理数． 45．如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 46．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理基础与几何综合专项训练 题型1.勾股定理基础计算 题型2.勾股定理的证明方法 题型3.勾股定理与无理数 题型4.平面直角坐标系中两点间距离 题型5.勾股定理与网格问题 题型6.勾股定理与折叠问题 题型7.勾股定理与图形面积(含弦图) 题型8.勾股树相关计算 题型9.勾股定理与线段平方关系 解答题6题 题型1.勾股定理基础计算 1．在中，两直角边长分别是、，则斜边的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别是、， ∴斜边的长是． 2．如图，小明在数轴上作，使得，，，再以点O为圆心以长为半径作弧，交数轴正半轴于点G，则点G在数轴上对应的数是_____． . 【答案】 【分析】先在中用勾股定理求出,再由得点对应的数． 【详解】解：中，， 由勾股定理得， 以点为圆心，为半径作弧，交数轴正半轴于点， ， 在数轴上对应的数是． 3．如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 【答案】 【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出． 【详解】解：作于交延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先证明是等边三角形，得到，再根据外角得到，得到，，过作于，中，根据直角三角形的性质得到，，再证明是等腰直角三角形，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵中，，， ∴， ∵中，， ∴， ∴． 题型2.勾股定理的证明方法 5．如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（　　） A．秦九韶 B．祖冲之 C．赵爽 D．杨辉 【答案】C 【分析】本题考查了关于勾股定理的历史知识：赵爽弦图；根据赵爽的弦图可以用于证明勾股定理即可求解． 【详解】解：赵爽的弦图可以用于证明勾股定理； 故选：C． 6．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【答案】(图1) ；(图2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键． 直接利用等面积法列出等式并整理即可解答． 【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得； 故答案为：(图1)； 如图2，，整理得： 故答案为：(图2)． 7．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 8．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故④可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的是②③④． 故选：D． 题型3.勾股定理与无理数 9．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到的长，再根据，可以得到的长，然后根据数据，即可写出点D所表示的数． 【详解】解：由图可得，， ，， ， ∵， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 10．如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_____． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】解：如图， 由数轴可知：， ∴， ∴a的值为． 11．如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 _________________ ． 【答案】 / 【分析】根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 12．下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短和三角形的三边关系，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 根据勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断． 【详解】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得 ∴ ∴ 无法验证； 故选：A． 题型4.平面直角坐标系中两点间距离 13．在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（   ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在平面直角坐标系中的应用． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为， 故选：C． 14．在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为________． 【答案】 【分析】利用横纵坐标的差结合勾股定理即可计算出线段的长度． 【详解】解：， 线段的长度． 15．点和点之间的距离是_____． 【答案】 【分析】先表示出两点之间的横向的距离和纵向的距离，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 所以点A和B之间的距离是． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的考试知识集中在平面直角坐标系和三角形全等首先根据点的坐标及中点性质，得出；再结合和直角条件用定理证 ，推得；最后因在轴上，分正负半轴讨论，得到的坐标． 【详解】解：∵点是的中点，点， ∴， ∵点， ∴ ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 点在轴负半轴上时，坐标为； 点在轴正半轴上时，坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 题型5.勾股定理与网格问题 17．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 18．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形，利用勾股定理可以求得的长． 【详解】解：由图可得， ， 故答案为： 19．如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A对应的数为1，以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的数字表示，勾股定理，根据作图得到相等的线段是解题的关键． 首先根据题意结合勾股定理求出的长，进而得到的长即可求解点M表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∵以点A为圆心，长为半径，交数轴于M、N两点， ∴， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出、的长度平方，再分三种情况讨论以、、为边构成直角三角形时可能的长度，最后在网格中找出满足条件的点的位置数量． 【详解】解：计算各边长度的平方：，． 分三种情况讨论： 情况：为斜边，、为直角边： 即．在网格中，从出发，水平或垂直移动个单位，有处． 情况：为斜边： 边长平方不能为负，此情况不成立． 情况：为斜边，、为直角边： ． 即．在网格中，满足的格点，有处． ∴点的位置如图所示． ∴满足条件的点共有处． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和网格中的点坐标计算，解题关键是分情况讨论直角三角形的斜边，通过计算边长平方确定的可能长度，再在网格中找到对应点． 题型6.勾股定理与折叠问题 21．如图，小娜将一张长为16cm，宽为12cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3，CD=4，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　　） A．5cm B．12cm C．13cm D．15cm 【答案】D 【分析】先将不规则图形补成长方形，再利用勾股定理计算BC的长度． 【详解】 解：延长AB、DC交于H点， 由题意知：BH=12﹣3=9，CH=16﹣4=12， 在Rt△BCH中，由勾股定理得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查再不规则图形中应用勾股定理，能够在不规则图形中构造直角三角形并运用勾股定理是解决本题的关键． 22．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则___________ ． 【答案】3 【详解】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用x表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， 则， 由勾股定理得，， 解得， ∴． 故答案为：3． 23．如图，在长方形中，，，点为边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的长为___________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：当时，当时，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：在长方形中，，，， ∵把沿折叠，使点落在点处， ∴，， 当时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，则点落在上，如图2， 设，则， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ， 解得， 即 综上所述，当是直角三角形时，的长为2或． 24．如图，在中，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上，则折痕的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用这两个知识是解题的关键； 由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：如图，将沿折叠，使点C恰好落在边上点E处， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：D． 题型7.勾股定理与图形面积(含弦图) 25．如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由勾股定理得，， 即正方形和正方形的面积和为． 26．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 27．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，    则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高米，底面周长米， ∴彩带长=， ∴彩带长至少是， 故选：． 【点睛】本题主要考查立体图形展开图的认识，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 28．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 29．新考法  如图所示，第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽的主体图案是由一连串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．如果，那么为________． 【答案】8 【分析】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．利用勾股定理依次求出，可总结出，由此可解． 【详解】解： 由勾股定理可得：， ， …… 可知， ，． 故答案为：． 30．如图1，在中，，分别以为边，向形外作等边三角形，所得等边三角形的面积分别为，请解答以下问题： （1）满足的数量关系是 ________ ； （2）现将向上翻折，如图2，若阴影部分的面积，则_____ ． 【答案】 7 【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明． （2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到，整理之后即可代值求解． 【详解】解：（1）在中，，则， 如图，在等边中，， 作于点H， ， 边上的高， 同理： ， ， ∴ ∴； （2）设面积为S，图②中旁边两个白色图形的面积分别为a，b； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 31．第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 【答案】9 【分析】先由勾股定理得，再由完全平方公式得，进而得，再由三角形的面积为，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积为． 32．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为____寸． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 题型8.勾股树相关计算 33．下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 34．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 35．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，则正方形的面积之和为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 根据勾股定理知： ，，， ∴． 故答案为：． 36．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 题型9.勾股定理与线段平方关系 37．在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，再根据，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 38．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 39．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 40．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形……依此规律，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题点坐标变化规律要分别从旋转次数与点所在象限或坐标轴、点到原点的距离与旋转次数的对应关系． 【详解】解：由已知，点每次旋转转动，则转动一周需转动8次，每次转动点到原点的距离变为转动前的倍， ， 点的在y轴负半轴上， ， 故答案为：． 【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号． .解答题 41．如图，四边形是汉丰湖某处的休闲步道．经测量，点B在A的正南方向，点D在A的西南方向，点C在B的正西方向，米，米，点D在点C的北偏西方向上． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)周末，小明和父亲在C处晨练，晨练结束后两人同时步行到A处，已知：小明速度为70米/分，沿的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)小明爸爸先到家，理由见解析 【分析】（1）过作于，过作于，则，，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，分别求得小明所用的时间和小明爸爸所用的时间，进而求解． 【详解】（1）解：过作于，过作于， 则，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：小明爸爸先到家；理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴小明所用的时间为（分）， ∵， ∴小明爸爸所用的时间为（分）， ∵， ∴小明爸爸先到家． 42．如图，在平面直角坐标系中，点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，连接，，． (1)直接写出点A，点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，运动到点O停止．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻使，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】(1)， (2)的值为秒或秒 【分析】（1）根据题意得，再由勾股定理得出，确定，即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）解：存在， 如图，当点在上时，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为， ∴， ∴， 解得：， 如图，当点在线段上时， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为， ∴， ∴， 解得：， 综上：的值为秒或秒． 43．如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （2）根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）．证明如下： ，， ． （2）由（1）可知，阴影部分的面积． 44．如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． (1)直角三角形的三边中有一边长是无理数； (2)直角三角形的三边中有两边长是无理数； (3)直角三角形的三边长都是无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （2）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （3）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 45．如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 46．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $