2.3 垂径定理（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学教案聚焦垂径定理，通过赵州桥主桥拱半径问题情境导入，衔接圆的轴对称性旧知，以问题为支架引导学生探索垂直于弦的直径的性质及推论。 资料亮点在于融合数学眼光与思维，情境导入体现数学观察现实世界，合作探究中动点问题、实际应用等案例，结合圆的轴对称性与勾股定理培养推理能力和模型意识，帮助学生提升几何直观与应用能力，为教师提供清晰教学思路与实例支撑。

*2.3　垂径定理 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．进一步认识圆是轴对称图形； 2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点) 3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点) 一、情境导入 你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶． 它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？ 二、合作探究 探究点一：垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求边 如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长． 解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题． 解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝AB＝×10＝5(cm)． 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手． 【类型二】 动点问题 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围． 解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长． 解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm. 方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况． 探究点二：垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为Rm，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250. 方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答． 三、板书设计 教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $