专题2.5 过不共线三点作圆（1大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版九年级下册

本讲义聚焦“不在同一直线上的三点确定一个圆”核心知识点，从点与圆位置关系切入，对比过一点、两点、三点确定圆的条件差异，延伸至三角形外接圆、外心定义及性质，构建从基础到应用的递进式知识支架。 资料突出几何直观与推理意识，通过破损镜子圆心确定等实例强化尺规作图能力，结合坐标系中外心坐标计算培养模型意识。题型分层设计典例与变式，课中助力分层教学，课后即学即练帮助巩固外心位置判断、外接圆半径求解等，有效查漏补缺。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.5 过不共线的三点作圆 内容概览 教学目标、教学重难点 知识清单 知识点1确定圆的条件 题型1判断确定圆的条件 题型2确定圆心（尺规作图） 确定圆的条件 题型3求确定圆的个数 题型精讲 题型4画圆（尺规作图） 题型5三角形的外接圆 题型6求三角形外心坐标 题型7求三角形外接圆的半径 强化训练 教学目标、教学重难点 1.知识目标：理解点与圆的位置关系，掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的 定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。 2.能力目标：通过尺规作图提升几何操作能力，能运用定理解决找圆心、画外接圆等 教学目标 问题，培养逻辑推理与空间想象能力。 3.素养目标：体会“从特殊到一般”的探究思路，感受几何严谨性，养成规范描述作 图与证明过程的习惯。 1.重点 (1)核心定理：深刻理解并掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，明确定理中“不 共线”的关键条件。 教学重难点 (2)概念与应用：掌握三角形外接圆、外心的定义及外心的性质，能规范完成三角形 外接圆的尺规作图。 2.难点 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)逻辑理解：难点在于理解“确定一个圆”的双重含义（存在性与唯一性)，以及 共线三点无法确定圆的推理过程。 (2)实际应用：难以灵活运用定理解决实际问题（如破损圆形物件的圆心确定），且 易混淆不同类型三角形外心的位置。 知识清单 知识点01确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆： 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外 接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外 心.从三角形外心的定义知：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离 相等 如图，分别作出线段AB的垂直平分线11和线段BC的垂直平分线12，设 它们的交点为O,则OA=OB=0C.于是以点0为圆心，OA(或OB、OC)为 半径，便可作出经过A、B、C三点的圆.因为过A、B、C三点的圆的圆 心只能是点O,半径等等于0A,所以这样的圆只有一个. 1)经过一个已知点A可画无数个圆。 2)经过已知两点A,B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3)经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4)经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【即学即练1】1.（25-26九年级上·山西运城·月考)下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对 的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26九年级上·安徽芜湖·月考)点A(6,8)是平面直角坐标系x0y上一点，以点A为圆心，A0长为半 径作圆并与坐标轴交于不与原点O重合的B、C两点，则BC的长为」 3.(25-26九年级上·吉林期中)图①，图②，图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点 A,B,C均是格点，ABC的外接圆的圆心记为点O,只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图. 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (1)在图①中，标出圆心0. (②)在图②中，ABC的外接圆上找出一点D,使得BD=AC, (3)在图③中，ABC的外接圆上找出一点E,使得EA=EB 题型精讲 题型01判断确定圆的条件 【典例1】(25-26九年级上·北京·课后作业)下列条件中，只能确定一个圆的是() A.过定点A B.过定点A、B,且半径为R C.过不在同一直线上的三点 D.过不在同一直线上的四点 【变式1】(25-26九年级上·北京·课后作业)下列条件中，能确定一个圆的是（) A.以点O为圆心 B.以6cm为半径 C.以点O为圆心，3cm为半径 D.经过已知点M 【变式2】(23-24九年级上全国单元测试)在平面直角坐标系内的点A(-山，-2)，B0,-2)，C(3,-2) 确定一个圆（填“能”或“不能”）. 【变式3】(24-25九年级上·江苏南京·月考)若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0)、B(0,2)、C(-1,m)能确 定一个圆，则m≠一 题型02确定圆心（尺规作图) 【典例2】(24-25九年级上·河南许昌期末)熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子， 她想到的办法是：把三角板的30顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B,C,如图所示，测量 出弦BC的长就可以得到镜子的直径.经测量弦BC的长为4cm,则该镜子的直径为() 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 【变式1】(2025九年级下·全国专题练习)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C,其中， B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为() B A.(2,1) B.(2,2) C.(2,0) D.(2,-1) 【变式2】(25-26九年级上·浙江温州·期中)如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A,B,C,其中B点 坐标为4,4)，则该圆弧所在圆的半径为」 【变式3】(25-26九年级上·吉林·期中)图①，图②，图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称 为格点，点A,B,C均是格点，ABC的外接圆的圆心记为点O,只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中 按要求作图 图① 图② 图③ (1)在图①中，标出圆心0. (2)在图②中，ABC的外接圆上找出一点D,使得BD=AC. (3)在图③中，ABC的外接圆上找出一点E,使得E4=EB 题型03求确定圆的个数 【典例3】(25-26九年级上·江苏徐州阶段练习)已知AB=7cm,则过点A,B,且半径为2cm的圆有() A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【变式1】(25-26九年级上全国·课后作业)如图，点A,B,C,D均在直线1上，点P在直线1外，则经 过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为() 4/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P。 A.3 B.4 C.5 D.6 【变式2】(23-24九年级上·全国·课后作业)过一点可以作 个圆；过两点可以作 、个 圆，这些圆的圆心在两点所连线段的」 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆： 【变式3】(25-26九年级上·浙江绍兴阶段练习)如图，点A,B,C均在直线1上，点P在直线1外，则 经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个. P. A 题型04画圆（尺规作图) 【典例4】(25-26九年级上·陕西·期中)如图，己知ABC,请用尺规作图法作⊙0，使得AB为O0的直径. (不写作法，保留作图痕迹) A 【变式1】(24-25九年级下·甘肃张掖·期中)阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面 问题： 己知：∠ACB是ABC的一个内角.求作：∠APB=LACB. B 小芸同学的作法如下： 如图，①作线段AB的垂直平分线m; ②作线段BC的垂直平分线n,与直线m交于点O； ③以点0为圆心，OA为半径作圆： ④则⊙O为ABC的外接圆； ⑤在优弧ACB上取一点P,连结AP,BP,则可得LAPB=∠ACB. 5/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据小芸设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，完成上面的作图过程；（不写画法，保留作图痕迹） (②)LAPB=∠ACB的依据是 【变式2】(25-26九年级上江苏无锡期中)如图，已知ABC. (1)尺规作图：作ABC的外接圆OO,(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若⊙0的半径为10，点0到BC的距离为6，求BC的长. 【变式3】(2023·内蒙古通辽中考真题)下面是“作己知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 己知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°. 求作：Rt△ABC的外接圆. 作法：如图2 (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点； (2)作直线P9,交AB于点O: (3)以0为圆心，OA为半径作⊙0，⊙0即为所求作的圆. B 图1 图2 下列不属于该尺规作图依据的是() A.两点确定一条直线 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05三角形的外接圆 【典例5】(25-26九年级上山东日照·期中)根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定ABC的外心的 是() 【变式1】(2425九年级上河北廊坊期中)己知0是ABC的内心，∠BAC=70°，P为平面上一点，点0恰 好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为() A.50° B.65.5° C.55° D.62.5° 【变式2】(2024九年级上·山东青岛·专题练习)如图，点A,B,C均在6×6的正方形网格格点上，过A, B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为一， ..B C 【变式3】(2022贵州铜仁·一模)如图，已知点0是ABC的外心，∠A=40°，连结B0,CO,则∠B0C 的度数是」 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 B 题型06求三角形外心坐标 【典例6】(24-25九年级上江苏无锡·期末)如图，在平面直角坐标系中，A0,-2),B(2,0),C(2,2).则 ABC的外心坐标为() A.(0,0 B.-1,0 C.（-1, D.-2,1 【变式1】(24-25九年级上湖南常德期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的三个顶点的坐标分 别为：A-2,4),B(4,4),C(4,0),经画图操作可知，ABC的外心坐标应是() y 6 5 B 4 3 2 1 -4-3-2-1O 123456x A.（2,1 B.（2,2 C.(4,4 D.(1,2 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26九年级上江苏淮安·月考)如图，在平面直角坐标系中，A(0,-2),B(2,0),C(2,2),则 ABC的外心坐标为 5 3 2 1 B 5-4-3-2-10 2 3 45 3 【变式3】(24-25九年级下江苏连云港·月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，有三点A0,1,B(4,1), C(5,6),则ABC的外心坐标是 …6 …4 …2 A B 4:6衣 24 题型07求三角形外接圆的半径 【典例7】(24-25九年级上湖北恩施月考)如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A,B,C 在同一个圆上，则圆的半径为() A.5 B.25 c. D.V85 4 【变式1】(25-26九年级上·全国·课后作业)如图，A,B,C是⊙0上的三点，ABC是等边三角形.若 AB=3,则⊙0的半径是() 9/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 3 B.3 C.5 D. 2 2 【变式2】(25-26九年级上·江苏扬州期中)若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半 径为 【变式3】(24-25九年级下·四川成都阶段练习)如图，正三角形ABC的边长为2√6，则它的外接圆00的 半径为 0 B 强化训练 一、单选题 1.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A0,3),B(2,1),C(2,-3),则 ABC的外心坐标是() B A.-2,-2 B.(-2,-1 C.-1,-2) D.（-1,-1 2.(25-26九年级上·福建莆田·期中)下列说法中，正确的是() A,长度相等的弧是等弧 10/14 专题2.5 过不共线的三点作圆 教学目标 1. 知识目标：理解点与圆的位置关系，掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质。 2. 能力目标：通过尺规作图提升几何操作能力，能运用定理解决找圆心、画外接圆等问题，培养逻辑推理与空间想象能力。 3. 素养目标：体会“从特殊到一般”的探究思路，感受几何严谨性，养成规范描述作图与证明过程的习惯。 教学重难点 1.重点 （1）核心定理：深刻理解并掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，明确定理中“不共线”的关键条件。 （2）概念与应用：掌握三角形外接圆、外心的定义及外心的性质，能规范完成三角形外接圆的尺规作图。 2.难点 （1） 逻辑理解：难点在于理解“确定一个圆”的双重含义（存在性与唯一性），以及共线三点无法确定圆的推理过程。 （2）实际应用：难以灵活运用定理解决实际问题（如破损圆形物件的圆心确定），且易混淆不同类型三角形外心的位置。 知识点01 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心．从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 如图,分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2,设它们的交点为O,则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心,OA(或OB、OC)为半径,便可作出经过A、B、C三点的圆．因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O,半径等等于OA,所以这样的圆只有一个． 1）经过一个已知点A可画无数个圆。 2）经过已知两点A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上 3）经过同一直线上三个点A、B、C的圆是不存在的。 4）经过不再同一直线上的三个点A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。 【即学即练1】1．（25-26九年级上·山西运城·月考）下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及其推论．根据相关性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①过三点不一定可以作圆（三点共线时不能），故说法错误； ②相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，故说法错误； ③垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理），故说法正确； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分但不垂直），故说法错误． ∴ 正确的只有1个． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）点是平面直角坐标系上一点，以点为圆心，长为半径作圆并与坐标轴交于不与原点重合的、两点，则的长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，由点A坐标求长作为半径，则，设与x轴交于点，与y轴交于点，则，，即可求出b、c，在中利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：点到原点O的距离， 故圆的半径为10， ∴， 设与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，， ∵、两点不与原点重合，即，， ∴，， ∴在中，，，由勾股定理得， 则． 故答案为：20． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）点即为所求； ； （3）如图，点即为所求． 题型01 判断确定圆的条件 【典例1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·月考）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 题型02 确定圆心（尺规作图） 【典例2】（24-25九年级上·河南许昌·期末）熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接， ， ， 是等边三角形 ， 该镜子的直径为8cm， 故选: Ｃ． 【变式1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由弧确定所在圆的圆心，涉及垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．熟练掌握通过圆弧，由垂径定理的推论确定弧所在圆的圆心方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）点即为所求； ； （3）如图，点即为所求． 题型03 求确定圆的个数 【典例3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线的三点确定一个圆是解题的关键．直线上任意两个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 【详解】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点睛】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 题型04 画圆（尺规作图） 【典例4】（25-26九年级上·陕西·期中）如图，已知，请用尺规作图法作，使得为的直径．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查的是作圆及线段垂直平分线的尺规作图，作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如下图即为所求作． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：是的一个内角．求作：． 小芸同学的作法如下： 如图，①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，与直线交于点； ③以点为圆心，为半径作圆； ④则为的外接圆； ⑤在优弧上取一点，连结，．则可得． 根据小芸设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，完成上面的作图过程；（不写画法，保留作图痕迹） (2)的依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)同弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）根据题意作图即可． （2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，以为半径画圆即可； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 【变式3】（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型05 三角形的外接圆 【典例5】（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，如图所示，由三角形内心性质结合三角形内角和定理得到，再由三角形外心定义，由圆周角定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 是的内心， 是的角平分线、是的角平分线， ，， 在中，，则由三角形内角和定理可知， ， 在中，， 点恰好又是的外心， 由圆周角定理可得， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及三角形内心性质、角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外心定义及圆周角定理等知识，熟记三角形内心性质及外心定义是解决问题的关键． 【变式2】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 【变式3】（2022·贵州铜仁·一模）如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案． 【详解】的外接圆如下图 ∵∠ ∴． 故答案为：． 题型06 求三角形外心坐标 【典例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据 【详解】解：根据三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，然后作和的垂直平分线，如图： ， 通过图像可以明显得到和的垂直平分线交点坐标为：； 故答案为：； 题型07 求三角形外接圆的半径 【典例7】（24-25九年级上·湖北恩施·月考）如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解直角三角形等，作直径，连接，根据勾股定理求得 ，，解直角三角形得到，由，，得出，进而即可求得，从而求得圆的半径为． 【详解】解：作的外接圆，作直径，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆的半径为， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形的外接圆半径；先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半求解． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 斜边长， 外接圆半径． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，进而求出，最后根据余弦的定义解答即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质、余弦的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 2．（25-26九年级上·福建莆田·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质和三角形外心的概念，根据定义和定理逐项判断即可． 【详解】解：A.∵在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，∴错误； B.∵三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到顶点距离相等，到边距离相等的是内心，∴错误； C.∵垂径定理指出平分弦（非直径）的直径垂直于弦，未指定非直径，∴错误； D.∵在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，是圆心角定理，∴正确； 故选D． 3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理得到，即可求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为的外接圆，且是的直径，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 8．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，，，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，连接弧的两个交点，取所作两条直线的交点，以该交点为圆心，该交点到的距离为半径作弧交于，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、三角形的外接圆、弧长公式等知识，由作图可知点O为的外接圆圆心是解题的关键．由作图可知，点O为的外接圆圆心，连接，由圆周角定理求出，得到，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，由作图可知，点O为的外接圆圆心，连接， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长为， 故答案为： 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若． （1）圆心P的坐标为 ； （2）点C的纵坐标为 ． 【答案】 / 【分析】（1）连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，，即可求出圆心P的坐标； （2）根据勾股定理得到的长，于是得到结论． 【详解】解：（1）连接，，，过点作于，于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ∴圆心P的坐标为． 故答案为：； （2）∵， ， ， 点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，一个弓形零件，高为，长． (1)请用直尺和圆规画出弓形所在圆的圆心． (2)请计算弓形所在圆的半径长． 【答案】(1)图见详解 (2)弓形所在圆的半径长为． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴弓形所在圆的半径长为． 12．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 【答案】(1)图见详解； (2)2 【分析】（1）本题考查了尺规作图及外接圆性质，根据外接圆到各个顶点的距离相等作出、的垂直平分线，找到交点即为外接圆圆心，再画圆即可得到答案； （2）本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补，根据，求出，再根据垂径定理求出即可得到答案； 【详解】（1）解：作、的垂直平分线交点即为外接圆圆心，如图所示， ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ∵等腰三角形的外接圆的圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 14．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 15．（25-26九年级上·江西新余·月考）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作中垂线与边交于点即为所求．可证明是直角三角形，由垂直平分线的性质可知，则，可证，则，所以，则即为所求； （2）根据方格作的垂直平分线，其交点即为点，根据垂直平分线的性质可证，所以即为所求． 【详解】（1）解：作中垂线与斜边交于点即为所求； 由勾股定理可知：， ， ∴是直角三角形， 作中垂线与斜边交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故点即为所求； （2）解：作垂直平分线的交点即为所求； ∵在的垂直平分线上， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故点即为所求． 【点睛】本题考查方格纸作图，三角形的外接圆，线段的垂直平分线，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $