1.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该教案聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质，通过火箭发射高度问题导入，衔接之前学的特殊形式，搭建从具体到一般的学习支架，引导学生掌握描点法、顶点坐标求解及性质应用。 特色在于情境导入培养数学眼光，如火箭问题激发探究欲，让学生从现实中发现数量关系。探究点设计发展数学思维，如二次函数与一次函数图象综合题提升推理能力。综合应用强化数学语言，如几何图形面积计算培养模型意识。助力学生理解知识联系，为教师提供结构化教学素材。

第5课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象； 2．会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握其性质；(重点) 3．二次函数性质的综合应用．(难点) 一、情境导入 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？ 二、合作探究 探究点一：化二次函数y＝ax2＋bx＋c为y＝a(x－h)2＋k的形式 把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－)2＋.将y＝(x－)2＋向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋)2＋，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A. 方法总结：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 【类型一】 二次函数与一次函数图象的综合 在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(　　) 解析：A、B中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－＝－＝－＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误；C中由函数y＝mx＋m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－＝－＝－＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误；D中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－＝－＝－＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．故选D. 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【类型二】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质 若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故选C. 方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题 【类型三】 二次函数图象的位置与各项系数符号的关系 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________． 解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；∵对称轴在y轴右侧，对称轴为－＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③④都正确． 方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 【类型四】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(　　) A．3 　　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C. 方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题 探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与几何图形的综合应用 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6； (2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4， ∴点C的坐标为(4，0)， ∴AC＝OC－OA＝4－2＝2， ∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 三、板书设计 本节课所学的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质可以看作是y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律. 学科网（北京）股份有限公司 $