1.2 第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y = a(x-h)^2 + k \) 的图象与性质，通过复习旧知“画 \( y = \frac{1}{2}(x-1)^2 \) 图象”引入新问题“如何画 \( y = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 3 \) 图象”，搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以探究对比为核心，引导学生观察函数关系发现平移规律，培养几何直观与抽象能力（数学眼光），通过表格归纳性质、分层例题练习（如判断三角形形状），发展推理意识与应用意识（数学思维与语言），助力学生理解知识本质，教师使用可提升教学效率。

1.2 二次函数的图象与性质 第1章 二次函数 第3课时 二次函数 y = a(x+h)² + k 的图象与性质 优翼九下数学教学课件（XJ） 复习引入 确定其对称轴 x=1，顶点坐标为( 1，0). 列表：x 从顶点横坐标 1 开始取值. 描点并连线：先画出对称轴右边的部分. 再根据对称性另一部分即得图象. 1. 如何画二次函数 y = (x-1)2 的图象. 2. 那么如何画二次函数 y = (x-1)2+3 的图象呢？ 要解决这个问题，我们首先探究一下两个二次函数的关系. 导入新课 对于每一个给定的 x 值，下面的函数值都比上面的大 3. 的图象可由 的图象向上平移 3 个单位得到. 二次函数 与 的关系. 探究 横坐标 a a 二次函数 图象上的点 纵坐标 二次函数 y = a(x+h)2 + k 的图象和性质 新课讲授 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 观察 的图象，说说它有哪些特征. 顶点为(1,3) 对称轴为直线 x=1 开口向上的抛物线 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质 y = a(x-h)2+k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 知识要点 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h （h,k） （h,k） 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 当 x ＜ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＞ h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x ＞ h 时，y 随 x的增大而减小；x ＜ h 时，y 随 x 的增大而增大. 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, －2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , －6 ) 向上 直线 x =－3 直线 x = 1 直线 x = 3 直线 x = 2 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 完成下列表格： 练一练 问题1 我们已经知道了二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象的性质，那么你猜想一下如何画出它的图象？ 第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 第二步 列表（自变量 x 从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分； 第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）. 典例精析 例1 画二次函数 的图象. 解：对称轴是直线 x = －1，顶点坐标为 (－1，－3). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 －1开始取值. x －1 0 1 2 3 －3 －2.5 －1 1.5 5 x O y 2 4 －2 －4 2 4 －2 －4 描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样我们得到了函数 的图象，如右图. 例2 已知抛物线 y = a(x-3)2 + 2 经过点（1，-2）． （1）求 a 的值； （2）若点 A（ ，y1）、B（4，y2）、C（0，y3）都在该抛物线上，试比较 y1、y2、y3 的大小． 解：（1）∵抛物线过点（1，-2）， ∴ -2 = a(1-3)2+2，解得 a = -1； （2）由抛物线 y = a(x-3)2+2 可知对称轴 x = 3， ∵抛物线开口向下，而点 B（4，y2）到对称轴的距离最近，C（0，y3）到对称轴的距离最远， ∴y3＜y1＜y2． 探究归纳 怎样移动抛物线 才能得到抛物线 ？ 平移方法1 向右平移 1个单位 向上平移 3个单位 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与 y = ax2 的图象的关系 向右平移 1个单位 平移方法2 向上平移 3个单位 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 知识要点 二次函数 y = ax2 与 y = a(x-h)2+k 的关系 可以看作互相平移得到的(h＞0，k>0). y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数 a 不变. 请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到? 由抛物线向上平移 7 个单位, 再向右平移 3 个单位得到的. 练一练 1. 将抛物线 y＝ x2 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得的抛物线是(　　) A．y＝ (x－2)2－1 B．y＝ (x－2)2＋1 C．y＝ (x＋2)2＋1 D．y＝ (x＋2)2－1 A 2. 抛物线 y = 2x2 不动，把 x 轴、y 轴分别向上、向左平移 3 个单位，则在新坐标系下，此抛物线的表达式为__________________． y = 2(x-3)2-3 当堂练习 3. 已知 y ＝ (x－3)2－2 的部分图象如图所示，抛物线与 x 轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________． 解析：由抛物线的对称性知，对称轴为 x＝3，一个交点坐标是(1，0)， 则另一个交点坐标是(5，0)． (5，0) 4. 对于抛物线 y = - (x−2)2+6，下列结论：① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线 x = 2；③顶点坐标为 (2，6)；④当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小. 其中正确的结论有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D 5. 已知点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数 y = -(x - 1)2 + 1 的图象上，若 -1＜x1＜0，3＜x2＜4，则 y1___ y2（填“＞”“＜”或“=”）． ＞ 解析：抛物线 y = -(x - 1)2 + 1 的对称轴为直线 x = 1，∵ a = -1＜0， ∴ 抛物线开口向下， ∵ -1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴ y1＞y2． 6. 试说明抛物线 y＝2(x－1)2 与 y＝2(x－1)2＋5 的异同． 解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是 x＝1. 当x＜1时都是左降，当 x＞1 时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标 是 (1，0)，y＝2(x－1)2＋5 的顶点坐标是(1，5)； (2) y ＝ 2(x－1)2 的最小值是 0， y ＝ 2(x－1)2＋5 的最小值是 5. 7. 抛物线 与 x 轴交于 B，C 两点，顶点为 A，则 △ABC 的周长为（ ） A. B. C. 12 D. B 8. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y＝(x－h)2＋k. 所得抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左边)，与 y 轴交于点 C，顶点为 D. (1) 求 h，k 的值； 解：(1)∵将抛物线 y＝x2 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y＝(x＋1)2－4， ∴h＝－1，k＝－4； (2) 判断△ACD的形状，并说明理由． (2) △ACD 为直角三角形． 理由如下：由 (1) 得 y＝(x＋1)2－4. 当 y＝0 时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3 或 x＝1， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 当 x＝0 时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3， ∴C点坐标为 (0，－3)． 顶点坐标为D (－1，－4)． 作出抛物线的对称轴 x＝－1交 x 轴于点 E，过 D 作 DF⊥y 轴于点 F，如图所示． 在 Rt△AED 中，AD2 ＝ 22＋42 ＝ 20； 在 Rt△AOC 中，AC2 ＝ 32＋32 ＝ 18； 在 Rt△CFD 中，CD2 ＝ 12＋12 ＝ 2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD 是直角三角形． 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2 形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x-h)2 + k 的图象和性质 图象特点 当 a > 0，开口向上；当 a < 0，开口向下.对称轴是 x = h, 顶点坐标是(h，k). 平移规律 左右平移： 括号内左加右减； 上下平移： 括号外上加下减. 当堂练习 $