复习题2 圆（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆的概念、性质、计算及应用，通过基础判断、几何证明、综合计算等题型，将圆的对称性、切线判定、弧长公式等核心内容串联，帮助学生构建完整的圆知识体系。 其亮点在于结合生活情境（如监视器安装）培养数学眼光，通过逻辑推理（如切线证明）发展数学思维，采用A、B、C组分层设计满足不同学生需求。如B组第12题弦长与距离计算，提升学生用数学语言表达的能力，助力教师精准复习，巩固学生知识。

九（下）数学教材习题 复习题 2 湘 教 版 1．判断（对的画“√”，错的画“×”）： （1）圆只有一条对称轴； （ ） （2）直径是圆内最长的弦； （ ） （3）长度相等的两条弧是等弧； （ ） （4）和半径垂直的直线是圆的切线. （ ） × √ × × A 组 2．如图，有一圆形展示厅，在其边缘上的点 A 处安装了一台监视器，它的监控角度是 65°. 为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器多少台？ 解：圆的内接正三角形的三个内角都是 60°，三个视角范围正好可以覆盖整个圆；故当监控角度都是 65° 时，最少需安装 3 台监视器． A 组 3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接 CD，若 AD = 3，AC = 2，求 cosD 的值. 你还能求出 cosB 的值吗？ 解：∵ AD 是⊙O 的直径， ∴∠ACD = 90°． ∴ CD = = = ∴ cosD = = 又∠B =∠D， 故 cosB 的值也为 A 组 *4．如图，半径为 4 的⊙O 中，有弦 AB，以 AB 为折痕对折，劣弧恰好经过圆心 O，求弦 AB 的长度. 解：作⊙O 的半径 OC⊥AB 于点D，连接 OA，AC. 则点 D 为 AB 的中点. 由折叠可知，OA = CA， 又 OA = OC， C D A 组 *4．如图，半径为 4 的⊙O 中，有弦 AB，以 AB 为折痕对折，劣弧恰好经过圆心 O，求弦 AB 的长度. ∴△AOC 为等边三角形． ∴∠AOD = 60°. ∴ AD = OA·sin∠AOD = 4sin60° = 2. ∴ AB = 2AD = 4. C D A 组 5．已知 Rt△ABC 的两直角边的长分别为 6 cm，8 cm，求它的外接圆的半径． 解：由勾股定理得斜边长为 = 10 (cm). 由圆周角定理的推论可知，直角三角形的斜边就是它的外接圆的直径， ∴ 它的外接圆的半径为 5 cm. A 组 6．如图，已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 为 BC 延长线上一点，点 A 为圆上一点，AB = AD，∠ADB = 30°． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； 证明：连接 OA. ∵ AB = AD， ∴∠B =∠D = 30°. ∵ OA = OB，∴∠B =∠OAB. A 组 6．如图，已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 为 BC 延长线上一点，点 A 为圆上一点，AB = AD，∠ADB = 30°． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； ∴∠AOD =∠B +∠OAB = 2∠B = 60°. ∴∠OAD = 90°，即 AD⊥OA. ∴ AD 是⊙O 的切线. A 组 （2）若⊙O 的半径为 2，求 的长. 解： 的长为 A 组 7．如图，线段 AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠ABC = 120°，OC = 3，求 的长． 解：连接 OB. ∵ AB 与⊙O 相切于点 B， ∴ OB⊥AB，即∠OBA = 90°. ∵∠ABC = 120°， ∴∠OBC = 120° - 90° = 30°. A 组 7．如图，线段 AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠ABC = 120°，OC = 3，求 的长． ∵ OB = OC， ∴∠OBC =∠C = 30°. ∴∠BOC = 180° - 2×30° = 120°. ∴ 的长为 A 组 *8．⊙O 是△ABC 的内切圆，求证：AB + CF = AC + BF. 证明：∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴ 由切线长定理得 AD = AE，BD = BF，CE = CF. ∴ AB + CF = BD + AD + CF = BF + AE + CE = BF + AC， 即 AB + CF = AC + BF. A 组 9．如图，在 3×3 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，O，A，B 是格点，求 的长及扇形 OAB 的面积. 解：易得∠AOB = 90°， OA = = ． ∴ 的长为 扇形 OAB 的面积为 A 组 10．如图，若⊙O 的内接正三角形 ABC 的边长为 12 cm，求图中蓝色部分的面积. 解：作 OD⊥AC 于 D，连接 OA，OC. 则 AD = AC = ×12 = 6 (cm). 在 Rt△AOD 中，∠OAD = 30°， ∴ OD = AD·tan∠OAD = 6tan30° = OA = 2OD = D A 组 10．如图，若⊙O 的内接正三角形 ABC 的边长为 12 cm，求图中蓝色部分的面积. 又∵∠AOC = 2∠B = 120°， ∴ S蓝色部分 = S扇形OAC - S△OAC = = D A 组 11．如图，点 A，B，C，D 是⊙O 上的点，且 AB = DC，△ABC 与△DCB 全等吗？为什么？ 解：△ABC≌△DCB，理由如下： ∵ AB = DC，∴ ∴ ∴ AC = DB. 又∵ BC = CB， ∴△ABC≌△DCB (SSS). B 组 *12．如图，⊙O 的弦 AB∥CD，且 AB = 6，CD = 8，AB 与 CD 的距离为 7，求⊙O 的半径. 解：过点 O 作 EF⊥AB 于 E，交 CD 于 F，连接 OA，OC. ∵ AB∥CD，∴ EF⊥CD. ∴ E，F 分别是 AB，CD 的中点. ∵ AB = 6，CD = 8， ∴ AE = 3，CF = 4. E F B 组 *12．如图，⊙O 的弦 AB∥CD，且 AB = 6，CD = 8，AB 与 CD 的距离为 7，求⊙O 的半径. 设 OA = r，OE = d，则 OF = 7 - d. ∵ OA2 = AE2 + OE2， OC2 = CF2 + OF2， ∴ r2 = 32 + d2，r2 = 42 + (7 - d)2. 联立两式，解得 r = 5，d = 4. ∴ ⊙O 的半径为 5. E F B 组 13．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，⊙O 的弦 AD 平行于 OC. 求证：DC 是⊙O 的切线. 证明：连接 OD. 则 OA = OD = OB. ∴∠A =∠ODA. 又∵ AD∥OC， ∴∠A =∠BOC，∠ODA =∠DOC. B 组 ∴∠BOC =∠DOC. 又∵ OC = OC， ∴△BOC≌△DOC（SAS）. ∴∠OBC =∠ODC. ∵ BC 与⊙O 相切于点 B， ∴ BC⊥OB，即∠OBC = 90°. ∴∠ODC = 90°，即 CD⊥OD. ∴ DC 是⊙O 的切线. B 组 14．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A = 80°，若圆周长为 18π，求 的长度. 解：连接 OB，OD. ∵∠A = 80°， ∴∠BOD = 2∠A = 160°. ∴ 所对的圆心角为 360° - 160° = 200°. ∴ 的长为 B 组 15．如图是边长为 12 m 的正方形池塘，周围是草地，池塘边 A，B，C，D 处各有一棵树，且 AB = BC = CD = 3 m. 现在用长 4 m 的绳子将一头羊拴在其中的 一棵树上，为了使羊在草地上活 动区域的面积最大，应将绳子拴 在哪棵树上呢？并求出最大面积. B 组 解：由题意可知，羊的活动区域是以 4 m 长为半径的一个扇形，其圆心角的大小决定了扇形面积的大小. 当将绳子拴在 B 树 上时，圆心角最大，为 270°，拴 在 A，C，D 树上时圆心角都小于 270°. 故活动区域的最大面积为 B 组 16．如图，在半径为 6 cm 的圆内画一个正六边形，求阴影部分的面积. 解：作 AD⊥BC 于 D，连接 OA，OB，OC . 则∠ABD =∠AOB =∠BOC= 60°. ∵ OA = OB = OC， ∴△AOB 和△BOC为等边三角形. ∴ AB = OA = OB = BC = 6 cm. D B 组 16．如图，在半径为 6 cm 的圆内画一个正六边形，求阴影部分的面积. D ∴ AD = AB·sin∠ABD = 6sin60° = ∴ S阴影部分 = S△ABC + S扇OBC - S△BOC ∴ S阴影部分 = B 组 17．如图，在锐角三角形 ABC 中，BC = a，CA = b，AB = c，其外接圆的半径为 R．求证： （提示：连 BO 并延长 交⊙O 于点 D，连 CD） 证明：连接 BO 并延长交⊙O 于点 D，连接 CD. 则∠A =∠D，∠BCD = 90°. C 组 17．如图，在锐角三角形 ABC 中，BC = a，CA = b，AB = c，其外接圆的半径为 R．求证： （提示：连 BO 并延长 交⊙O 于点 D，连 CD） ∴ 同理， ∴ C 组 18．如图，⊙O1 与⊙O2 相交于 A，B 两点，连接 AO1 并延长交⊙O1 于点 C，连接 CB 并延长交⊙O2 于点 D，若 O1O2 = 2，求 CD 的长． 解：连接 AB，AD. ∵ AC 为⊙O1 的直径， ∴∠ABC = 90°. ∴∠ABD = 90°. ∴ AD 为⊙O2 的直径. C 组 18．如图，⊙O1 与⊙O2 相交于 A，B 两点，连接 AO1 并延长交⊙O1 于点 C，连接 CB 并延长交⊙O2 于点 D，若 O1O2 = 2，求 CD 的长． ∴ O1，O2 分别是 AC，AD 的中点，即 O1O2 是△ACD 的中位线. ∴ CD = 2O1O2 = 4. C 组 $