第2章 圆 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件围绕“圆”展开，涵盖概念、位置关系、性质定理及计算问题，通过概念梳理、定理推导与例题解析层层递进，构建知识支架，帮助学生衔接前后内容，系统掌握圆的知识体系。 其亮点在于结合实际情境（如灯塔触礁问题）培养数学眼光，通过定理证明（如切线判定）发展推理能力，例题与训练结合强化数学语言表达。学生能巩固知识提升应用能力，教师可借助清晰结构高效教学。

第2章 圆 小结与复习 优翼九下数学教学课件（XJ） · 一. 与圆有关的概念 1. 圆 : 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2. 弦 : 连接圆上任意两点的线段. 3. 直径 : 经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4. 劣弧 : 小于半圆周的圆弧. 5. 优弧 : 大于半圆周的圆弧. 要点梳理 6. 等弧 : 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7. 圆心角 : 顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8. 圆周角 : 顶点在圆上，角的两边与圆相交. 【注意】 (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. · 9. 外接圆、内接正多边形：将一个圆 n (n≥3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆. 10. 三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 【注意】(1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2) 一个三角形的外接圆是唯一的. 11. 三角形的内切圆 内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 【注意】 (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点． (2) 一个三角形的内切圆是唯一的. 12. 正多边形的相关概念 (1) 中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心， 称其为正多边形的中心. (2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形 的边心距. (4) 中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的 圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 二. 与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到． 设 ☉O 的半径是 r ，点 P 到圆心的距离为 d ，则有 点 P 在圆内； d ＜r 点 P 在圆上； d = r 点 P 在圆外. d ＞ r 【注意】点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系． 直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 割线 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 2. 直线与圆的位置关系 设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离 三. 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴. 直径 2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. (2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. (2) 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 三. 有关定理及其推论 1. 垂径定理 (1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的　 　. 【注意】 ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． 两条弧 2. 圆周角定理 (1) 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. (3) 推论2：90° 的圆周角所对的弦是直径. 【注意】“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (4) 推论3：圆的内接四边形的对角互补. (2) 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. 3. 与切线相关的定理 (1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3) 切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 四. 圆中的计算问题 1. 弧长公式 半径为 r 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l=________. 2. 扇形面积公式 半径为 r ，圆心角为 n° 的扇形面积 S= ____________. 或 3. 弓形面积公式 O O 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 4. 圆内接正多边形的计算 (1) 正 n 边形的中心角为 (2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系 (3)边长 a，边心距 r 的正 n 边形的面积为 其中 l 为正 n 边形的周长. 考点一 圆的有关概念及性质 例1 如图，在 ⊙O 中，∠ABC = 50°，则 ∠CAO 等于(　 ) A．30° B．40° C．50° D．60° B 考点讲练 例2 在图中，BC 是 ☉O 的直径，AD⊥BC,若∠D = 36°,则∠BAD 的度数是 ( ) A. 72° B.54° C. 45° D.36° A B C D B 例3 ☉O 的半径为 r，圆心到点 A 的距离为 d，且 r、d 分别是方程 x2－6x＋8 ＝ 0 的两根，则点 A 与 ☉O 的位置关系是 ( ) A．点 A 在 ☉O 内部 B．点 A 在 ☉O 上 C．点 A 在 ☉O 外部 D．点 A 不在 ☉O 上 解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据 r 与 d 的之间的关系判断出点 A 与 ☉O 的关系. D 1. 如图所示，在 ☉O 中 弦 AB ∥ CD ，若 ∠ABC = 50°，则 ∠BOD 等于 ( 　) A．50° B．40° C．100° D．80° C 针对训练 135° 2.如图 a，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P为劣弧 BC 上的任意一点(不与 B，C 重合)，则∠BPC的度数是 . C D B A P O 图a 考点二 垂径定理 例4 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的口宽，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，则这个小圆孔的口宽 AB = mm. 8 mm A B 解析 设圆心为 O，连接 OA，过点 O 作出弓形的高 CD，则 AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理可算得 AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm. 8 C D O A O B C E F 图a 3. 如图 a，点 C 是扇形 OAB 上的 的任意一点，OA=2，连接 AC，BC，过点 O 作 OE ⊥ AC，OF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，连接 EF，则 EF 的长度等于 . 针对训练 4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 . A B C D P O 图b D′ P 例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC =90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，连接 BD. 考点三 切线的判定与性质 解：(1) ∵AB 是直径，∴∠ADB=90°. ∵AD = 3，BD = 4，∴AB = 5. ∵∠CDB =∠ABC，∠A = ∠A， ∴△ADB∽△ABC. ∵ 即 ∴BC = (1) 若 AD =3 ，BD = 4，求边 BC 的长. 又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°， ∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE. ∵AB 是直径，∴∠ADB=90°， ∴∠BDC=90°，即∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°. ∴ ED 与☉O相切. (2) 证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中， ∵ E 是 BC 的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE. 又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD. (2) 取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与 ☉O 相切. 例6 (多解题)如图，直线 AB，CD 相交于点 O， ∠AOD = 30°，半径为 1 cm的 ☉P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6 cm，如果 ☉P 以 1 cm/s的速度沿由A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉P 与直线 CD 相切. 4 或 8 解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P 在直线 CD 下面与直线 CD 相切；(2)☉P 在直线 CD 上面与直线 CD 相切. A B D C P P2 P1 E O 【解析】 连接BD，则在Rt△BCD中，BE ＝ DE，利用角的互余证明 ∠C ＝ ∠EDC. 例7 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点D，过点 D 的切线交 BC 于 E. (1) 求证：BC = 2DE. 解：(1) 证明：连接 BD， ∵AB 为直径，∠ABC =90°， ∴BE 切 ☉O 于点 B. 又∵DE 切 ☉O 于点D，∴DE = BE， ∴∠EBD =∠EDB. ∵∠ADB=90°， ∴∠EBD +∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠C =∠CDE，DE =CE. ∴BC = BE+CE = 2DE. (2) ∵DE=2，∴BC=2DE=4. 在Rt△ABC中， ∴AB=BC• = 在Rt△ABC中， 又∵△ABD∽△ACB， ∴ 即 ∴ (2) 若tanC= ，DE=2，求 AD 的长. B 北 60° 30° A C 例8 如图，已知灯塔 A 的周围 7 海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在 B 处测得灯塔 A 在北偏东 60° 的方向，向东航行 8 海里到达 C 处后，又测得该灯塔在北偏东 30°的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由. （参考数据 =1.732） 解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系. B 北 60° 30° A C 解：如图，作 AD 垂直于 BC 于D，根据题意，得 BC = 8. 设 AD 为 x. ∵∠ABC=30°， ∴AB=2x. BD= x. ∵∠ACD = 90°-30° = 60°， ∴ AD = CD×tan60°，CD= . ∴ BC=BD-CD= =8. 解得 x = B 北 60° 30° A C D 即渔船继续往东行驶，有触礁的危险. 5. 如图b，线段 AB 是直径，点 D 是 ☉O 上一点， ∠CDB = 20°，过点 C 作 ☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 ∠E 等于 . O C A B E D 图b 50° 针对训练 6. 如图， O 为正方形对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的 ☉O 与 BC 相切于点 M. (1)求证：CD 与 ☉O 相切； A B C D O M (1)证明：过点 O 作 ON⊥CD 于 N.连接 OM ∵BC与☉O相切于点M， ∴ ∠OMC=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形，点O在AC上. ∴AC 是∠BCD 的角平分线， ∴ON = OM. ∴ CD 与 ☉O 相切. N A B C D O M (2) 解: ∵正方形 ABCD 的边长为1，AC= . 设 ☉O 的半径为 r ，则OC= . 又易知 △OMC 是等腰直角三角形， ∴OC= 因此有 ， 解得 . (2) 若正方形 ABCD 的边长为 1，求 ☉O 的半径. 解：(1) 连接 OA、OB、OC， ∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于点 A、B、C， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE， ∴OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC. ∴∠DOE＝ ∠AOB. ∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°. 7. 已知：如图，PA，PB是 ⊙O 的切线，A、B 为切点，过 上的一点 C 作 ⊙O 的切线，交 PA 于D，交PB于E. (1) 若∠P＝70°，求 ∠DOE 的度数； (2)∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于 A、B、C， ∴ AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE ＝ PD＋AD＋BE＋PE ＝ 2 PA＝ 8 (cm) (2) 若 PA＝4 cm，求 △PDE 的周长． 例9 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上， OA=1，∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积？ 解：∵四边形 OABC 为菱形 ∴OC = OA = 1 ∵ ∠AOC = 120°，∠1 = ∠2 ∴ ∠FOE = 120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上 考点四 弧长与扇形面积 8. 一条弧所对的圆心角为135° ，弧长等于半径为 5 cm的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 . 40 cm 针对训练 9. 如图所示，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中 AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积. 解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合， 点 C 到达点 C' 的位置.连接 AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形. ∴ AC' = AE+EC' = AE+FC =16，CC' = EF = 8. 在Rt△AC'C中，得 ∴正方形 ABCD 外接圆的半径为 ∴正方形 ABCD 的边长为 例10 若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形的面积为______. 考点五 圆内接正多边形的有关计算 10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形． (1) 求正方形 EFGH 的面积； 解：(1)∵正六边形的边长与其半径相等， ∴EF = OF = 5. ∵四边形 EFGH 是正方形， ∴FG = EF =5， ∴正方形 EFGH 的面积是 25. 针对训练 (2)∵正六边形的边长与其半径相等， ∴∠OFE = 60°. ∴正方形的内角是 90°. ∴∠OFG =∠OFE +∠EFG = 60°+90° = 150°. 由(1)得 OF = FG， ∴∠OGF = (180° -∠OFG ) = (180° -150° ) = 15°. (2)连接 OF、OG，求 ∠OGF 的度数． 考点六 与圆有关的作图 · a b c d a 例8 如何解决“破镜重圆”的问题： O · 例9 如何作圆内接正五边形怎么作？ · O E 72° B A D C (1) 用量角器作 72° 的中心角，得圆的五等分点； (2) 依次连接各等分点，得圆的内接正五边形. 圆 圆的性质 与圆有关的位置关系 圆的对称性 圆是中心对称图形 垂径定理 点与圆的位置关系 直线与圆的位置的关系 切线长定理 圆的概念 圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴 切线 三角形的内切圆 课堂小结 弧长与扇形面积的计算 正多边形与圆 作图 圆 圆的性质 与圆有关的位置关系 圆的概念 见章节末练习. 课后作业 $