复习题1 二次函数（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、图像性质、表达式确定及应用，通过从基础表达式到图像特征再到实际应用的逻辑脉络，串联起函数平移、最值求解等核心内容，帮助学生构建完整的二次函数知识体系。 其亮点在于采用分层练习设计，A组夯实基础如二次函数图像绘制，B组提升能力如交点情况判断，C组拓展应用如最大补贴方案设计，培养学生的运算能力和模型意识。这种设计让不同水平学生均有收获，教师可精准把握学情，提升复习效率。

九（下）数学教材习题 复习题 1 湘 教 版 1．如图，一张正方形纸板的边长为 4，将它剪去 4 个全等的直角三角形，设这 4 个直角三角形短直角边的长度为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数表达式． 解：由题意得 y = 42 - 4× x(4 - x)， 即 y 关于 x 的函数表达式为 y = 2x2 - 8x + 16 (0＜x＜4)． A 组 2．画出下列二次函数的图象，并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. （1）y = - x2； 解：函数图象如图所示. 其对称轴为 y 轴，顶点坐标为 (0，0)，开口向下． A 组 2．画出下列二次函数的图象，并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. （2）y = (x - 2)2； 解：函数图象如图所示. 其对称轴为直线 x = 2，顶点坐标为 (2，0)，开口向上． A 组 2．画出下列二次函数的图象，并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. （3）y = - (x - 3)2 + 2； 解：函数图象如图所示. 其对称轴为直线 x = 3，顶点坐标为 (3，2)，开口向下． A 组 2．画出下列二次函数的图象，并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. （4）y = (x - )2 + 2； 解：函数图象如图所示. 其对称轴为直线 x = ，顶点坐标为 ( ，2)，开口向上． A 组 2．画出下列二次函数的图象，并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. （5）y = - x2 + 7x - 11； 解：函数图象如图所示. 其对称轴为直线 x = ，顶点坐标为 ( ， )，开口向下． A 组 2．画出下列二次函数的图象，并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. （6）y = x2 - 10x + 21. 解：函数图象如图所示. 其对称轴为直线 x = 5，顶点坐标为 (5，-4)，开口向上． A 组 3．填空： （1）抛物线 y = 3x2 先向左平移 2 个单位，得到抛物线____________；接着向上平移 1 个单位，得到抛物线_______________. （2）抛物线 y = x2 沿着 x 轴翻折并复制出来，得到抛物线_________；接着向右平移 5 个单位，得到抛物线_____________；接着向下平移 2 个单位，得到抛物线________________. y = 3(x + 2)2 y = 3(x + 2)2 + 1 y = - x2 y = - (x - 5)2 y = - (x - 5)2 - 2 A 组 4．已知二次函数的图象的顶点坐标为 (-3， )，且过点 (2， ). 求这个二次函数的表达式及它与 y 轴的交点坐标. 解：设该二次函数的表达式为 y = a(x + 3)2 + ， 将点 (2， ) 代入，得 = a(2 + 3)2 + ， 解得 a = ． A 组 ∴ 这个二次函数的表达式为 y = (x + 3)2 + = x2 + x + ，它与 y 轴的交点坐标为 (0， ). A 组 5．用配方法求下列二次函数的最大值或最小值. （1）y = -x2 + 3x + 4；（2）y = x2 - 2x + 1． 解:（1）y = -x2 + 3x + 4 = -(x - )2 + ， 图象开口向下，故当 x = 时有 y最大值 = ． （2）y = x2 - 2x + 1 = (x - 4)2 - 3， 图象开口向上，故当 x = 4 时有 y最小值 = -3． A 组 *6．已知二次函数的图象与 x 轴交于点 (2，0)，(-1，0)，与 y 轴交于点 (0，-1)．求这个二次函数的表达式及顶点坐标． 解：设 y = a(x - 2)(x + 1)，将点 (0，-1) 代入， 得 -1 = a(0 - 2)(0 + 1)，解得 a = ． ∴ 这个二次函数的表达式为 y = (x - 2)(x + 1) = x2 - x - 1，顶点坐标为 ( ，- )． A 组 7．用图象法求一元二次方程 x2 + 4x - 3 = 0 的根的近似值（精确到 0.1）． 解：画二次函数 y = x2 + 4x - 3 的图象如图所示，由图可知抛物线与 x 轴的两个交点分别在 -5 与 -4，0 与 1 之间. 考查 0 与 1 之间的交点情况：当 x = 0.5 时，y = - 0.75＜0；当 x = 0.75 时，y = 0.5625＞0； A 组 7．用图象法求一元二次方程 x2 + 4x - 3 = 0 的根的近似值（精确到 0.1）． 当 x = 0.625 时，y = - 0.109375＜0．故取 x1 ≈ 0.6． 由于抛物线的对称轴为直线 x = -2，故方程的另一根 x2 ≈ -4.6. 综上可知，所求方程的根的近似值为 x1 ≈ 0.6，x2 ≈ -4.6． A 组 8．将一个小球以 20 m/s 的初速度从地面垂直抛向空中，经过时间 t (s)，小球的高度 h (m) 为 h = 20t - 5t2． （1）经过多长时间，小球达到最高点？此时小球离地面多高？ 解：h = 20t - 5t2 = - 5(t - 2)2 + 20， 当 t = 2 时，有 h最大值 = 20． 答：经过 2 s 小球达到最高点，此时离地面 20 m. A 组 8．（2）经过多长时间，小球落到地面上？ 解：h = - 5(t - 2)2 + 20， 当 h = 0 时，有 t = 4． 答：经过 4 s 小球落到地面上. A 组 9．如图，一种铁栅栏护窗的正面是高 为 120 cm，宽为 100 cm 的矩形，在中 间有一个由 4 根铁条组成的菱形．菱形 的水平方向的对角线比竖直方向的对角 线长 20 cm，设竖直方向的对角线的长 度为 x (cm)． （1）求菱形的面积 S (cm2) 关于 x 的函数表达式； 解：S = x(x + 20) = x2 + 10x (0＜x≤80)． A 组 （2）当 x 取何值时，菱形的面积是护窗面积的 ？ 解：护窗面积的 为 ×120×100 = 2400 (cm2)． 令 S = x2 + 10x = 2400，解得 x1 = -80，x2 = 60. ∵ 0＜x≤80，∴ x = 60． 即当 x 取 60 时，菱形的面积是护窗面积的 ． A 组 10．如图为二次函数 y = (x + m)2 + k 的图象． （1）根据图中提供的信息求二次函数的表达式； 解：由图可知 m = - ，k = - ． ∴ 二次函数的表达式为 y = (x - )2 - = x2 - 5x + 4． B 组 10．如图为二次函数 y = (x + m)2 + k 的图象． （2）求图象与 x 轴的交点坐标； 解：令 y = x2 - 5x + 4 = 0， 解得 x1 = 1，x2 = 4． ∴ 图象与 x 轴的交点坐标为 (1，0) 和 (4，0)． B 组 10．如图为二次函数 y = (x + m)2 + k 的图象． （3）观察图象回答：当 x 取何值时，y＞0？当 x 取何值时，y = 0？当 x 取何值时，y＜0？ 解：当 x＜1 或 x＞4 时，y＞0； 当 x = 1 或 x = 4 时，y = 0； 当 1＜x＜4 时，y＜0． B 组 11．当 b2 - 4ac 分别满足什么条件时，抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点？试判断下列抛物线与 x 轴的交点情况： （1）y = 2x2 - 3x + 1；（2）y = 4x2 + 4x + 1； 解:（1）b2 - 4ac = 9 - 8＞0，与 x 轴有两个不同的交点. （2）b2 - 4ac = 16 - 16 = 0，与 x 轴有两个重合的交点. B 组 11．当 b2 - 4ac 分别满足什么条件时，抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点？试判断下列抛物线与 x 轴的交点情况： （3）y = -x2 + 2x - 4． 解：b2 - 4ac = 4 - 16＜0，与 x 轴没有交点． B 组 12．如图，排球运动员站在点 O 处发球，将球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y (m) 与运行的水平距离 x (m) 满足表达式 y = a(x - 6)2 + h．已知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离 为 18 m． B 组 （1）当 h = 2.6 时，求 y 关于 x 的函数表达式； 解：当 h = 2.6 时，y = a(x - 6)2 + 2.6， 由题意知，当 x = 0 时，y = 2，即 2 = a(0 - 6)2 + 2.6，解得 a = - . ∴ y 关于 x 的函 数表达式为 y = - (x - 6)2 + 2.6. B 组 （2）当 h = 2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？试说明理由. 解：当 x = 9 时，y = - (9 - 6)2 + 2.6 = 2.45； 当 x = 18 时，y = - (18 - 6)2 + 2.6 = 0.2. ∵ 2.45＞2.43，0.2＞0. ∴ 球能越过球网，但 会出界. B 组 13．在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，同时，点 Q 从点 B 出发，沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动. 如果 P，Q 两点在分别到达 B，C 两点后就停止移动， 回答下列问题： B 组 （1）设运动开始后第 t s 时，五边形 APQCD 的面积为 S (m2)，求 S 关于 t 的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围； 解：S = 6×12 - ×2t (6 - t) = t2 - 6t + 72， 其中 0＜t≤6. B 组 （2）当 t 为何值时，S 最小？并求出 S 的最小值. 解：S = t2 - 6t + 72 = (t - 3)2 + 63 (0＜t≤6)， 当 t = 3 时，S 最小，且 S最小值 = 63. B 组 14．抛物线 y = x2 - 4x + 3.5 与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线的顶点为 P，求△PAB 的面积． 解：y = x2 - 4x + 3.5 = (x - 2)2 - 0.5， ∴ P (2，-0.5). ∴△PAB 中 AB 边上的高为 0.5. 令 y = x2 - 4x + 3.5 = 0， 解得 x1 = 2 + ，x2 = 2 - . ∴ AB = x1 - x2 = . ∴ S△PAB = × ×0.5 = . C 组 15．某地发生旱情，为抗旱保丰收，当地政府制定农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买 Ⅰ 型、Ⅱ 型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的金额存在下表所示的函数对应关系． C 组 （1）分别求出 y1，y2 的函数表达式； 解：对于 Ⅰ 型设备，y1 = kx 中当 x = 5 时 y = 2， ∴ 2 = 5k，解得 k = 0.4，∴ y1 = 0.4x. 对于Ⅱ 型设备，y2 = ax2 + bx 中当 x = 2 时 y = 2.4，当 x = 4 时 y = 3.2， ∴ 解得 ∴ y2 = -0.2x2 + 1.6x. C 组 （2）有一农户同时对 Ⅰ 型、Ⅱ 型两种设备共投资 10 万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出此方案能获得的最大补贴金额. 解：设投资 Ⅱ 型设备 x 万元，Ⅰ 型设备 (10 - x) 万元时获得补贴 w 万元，则有 w = y1 + y2 = 0.4(10 - x) + (-0.2x2 + 1.6x) = -0.2x2 + 1.2x + 4 = -0.2(x - 3)2 + 5.8， ∴ 当 x = 3 时，有 w最大值 = 5.8. C 组 （2）有一农户同时对 Ⅰ 型、Ⅱ 型两种设备共投资 10 万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出此方案能获得的最大补贴金额. 10 - 3 = 7 (万元). 答：投资 Ⅰ 型设备 7 万元，Ⅱ 型设备 3 万元时能获得最大补贴 5.8 万元. C 组 $