习题1.5 二次函数的应用（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数的实际应用，通过拱桥栅栏、矩形苗圃、产品销售等生活实例导入，衔接二次函数表达式与最值求解的核心知识，搭建从现实问题抽象为数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过几何推理与代数运算发展数学思维，用函数模型表达现实问题强化数学语言。如拱桥问题建立坐标系抽象数量关系，销售利润问题用二次函数求最值，助力学生提升应用意识，教师可借助实例优化教学。

九（下）数学教材习题 习题 1.5 湘 教 版 1．如图，一段拱桥栅栏为抛物线的一部分，已知拱高 OA 为 1 m，栅栏的跨径 BC 间有 5 根间距为 0.5 m 的立柱，试建立适当的直角坐标系，求出该拱形栅栏所对应的二次函数表达式，并求出立柱 DE 的高度． A 组 解：如图，以 O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点 A 的坐标为 (0，1)，点 C 的坐标为 (1.5，1) ．设该抛物线的表达式为 y = ax2． ∵ 点 B (1.5，1) 在该抛物线上， ∴ 1 = a×1.52，解得 a = ． ∴ y = x2． 当 x = 0.5 时，y = ． y x A 组 则点 E 的坐标为 (0.5， )． 又点 D 的坐标为 (0.5，1)， ∴ DE = 1 - = ． 综上可知，所求二次函数的表达式为 y = x2，立柱 DE 的高度是 m． y x A 组 2．如图，用长为 18 m 的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃. （1）设矩形的一边为 x (m)，面积 为 y (m2)，求 y 关于 x 的函数表达式； 解：由题意得 y = x(18 - x) = 18x - x2， 即 y 关于 x 的函数表达式为 y = -x2 + 18x (0＜x＜18). A 组 解：∵ y = -x2 + 18x = - (x - 9)2 + 81， ∴ 当 x = 9 时，y 取得最大值，y最大值 = 81． 即当 x 的值为 9 时，所围苗圃的面积最大，最大面积是 81 m2． 2．如图，用长为 18 m 的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃. （2）当 x 为何值时，所围苗圃的面 积最大，最大面积是多少？ A 组 3．某工艺厂设计了一款成本为 10 元/件的产品，并投放市场进行进行试销．经过调查，发现每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）存在一次函数关系 y = -10x + 700． （1）销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大？最大利润为多少？ A 组 解：设销售利润为 w 元，则 w = (x - 10)(-10x + 700) = -10(x - 40)2 + 9000． ∴当 x = 40 时，w 取得最大值，此时 w = 9000． 答：销售单价定为 40 元时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为 9000 元． A 组 （2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过 35 元，那么销售单价如何定位才能获取最大利润？ 解：∵ w = -10(x - 40)2 + 9000，0＜x≤35， ∴ 当 x = 35 时，有 w最大值 = 8750． 答：销售单价定为 35 元才能获取最大利润． A 组 4．如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上，若设 AE = x，正方形 EFGH 的面积为 y. （1）求 y 关于 x 的函数表达式； 解：在正方形 ABCD 和 EFGH 中， ∠A =∠B =∠HEF = 90°，EH = FE． ∴∠AEH +∠AHE = 90°， ∠AEH +∠BEF = 90°． B 组 ∴∠AHE =∠BEF． 在△AEH 和△BFE 中， ∠A =∠B，∠AHE =∠BFE，EH = FE， ∴△AEH≌△BFE（AAS）． ∴ BF = AE = x，BE = 2 - x ． 在 Rt△BFE 中，EF2 = BF2 +BE2， ∴ y = EF2 = x2 + (2 - x)2 = 2x2 - 4x + 4 (0≤x≤2). B 组 4．如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上，若设 AE = x，正方形 EFGH 的面积为 y. （2）正方形 EFGH 有没有最小面 积？若有，试确定 E 点的位置；若 没有，试说明理由． 解：y = 2x2 - 4x + 4 = 2(x - 1)2 + 2 (0≤x≤2)，∴ 当 x = 1 时，有 y最小值 = 2． B 组 此时 E 为 AB 的中点． 故正方形 EFGH 有最小面积，当 E 点为 AB 的中点时面积最小． B 组 5．如图，某跳水运动员在进行 10 m 跳台比赛时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，已知该运动员在离跳 台的水平距离为 1 m 处达到最高 点，高度为 1 m，试建立适当的 直角坐标系，求该抛物线的表达 式． B 组 解：答案不唯一，如建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知抛物线的顶点为 (1，1)， 故可设抛物线的表达式为 y = a(x - 1)2 + 1． ∵ 抛物线经过原点 (0，0)， ∴ 0 = a(0 - 1)2 + 1，解得 a = -1 ． ∴ 抛物线的表达式为 y = -(x - 1)2 1 = -x2 + 2x (0≤x≤1 + )． y x O B 组 $