习题2.5 直线与圆的位置关系（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦圆的切线判定与性质、直线与圆位置关系及内切圆计算，通过基础题（如直径与距离判断公共点）导入，逐步过渡到切线证明（如直径所对圆周角应用）和内切圆计算，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理（如切线证明中角的转化）和模型意识（如内切圆线段关系方程组）培养数学思维与语言，通过实际问题（如测量圆形工件直径）增强应用意识。学生能提升推理与解决问题能力，教师可借助分层习题优化教学效率。

九（下）数学教材习题 习题 2.5 湘 教 版 1．⊙O 的直径为 10 cm，圆心 O 到直线 l 的距离是：（1）3 cm；（2）5 cm；（3）7 cm. 判断直线 l 与⊙O 有几个公共点，为什么？ 解：（1）两个公共点；（2）一个公共点；（3）没有公共点. 理由：∵⊙O 的直径为 10 cm，∴⊙O 的半径为 5 cm. 当圆心 O 到直线 l 的距离小于半径时，直线 l 与⊙O 有两个公共点；等于半径时，有一个公共点；大于半径时，没有公共点. A 组 2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线 MN 过点 B，△ABC 内接于⊙O，∠CBM =∠A. 求证：MN 是⊙O 的切线. 证明：∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠C = 90°. ∴∠A +∠ABC = 90°. 又∵∠CBM =∠A， ∴∠CBM +∠ABC =∠ABM = 90°. ∴ MN⊥AB. ∴ MN 是⊙O 的切线. A 组 3．如图，OC = CA，OB 为⊙O 的半径，∠COB = 60°，求证：AB 是⊙O 的切线. 证明：连接 BC. ∵ OB = OC，∠COB = 60°， ∴△BOC 是等边三角形. ∴ OC = CB，∠OCB = 60°. 又∵ OC = CA， ∴ CB = CA. ∴∠CBA =∠A. A 组 3．如图，OC = CA，OB 为⊙O 的半径，∠COB = 60°，求证：AB 是⊙O 的切线. ∵∠CBA +∠A =∠OCB = 60°， ∴∠A = 30°. ∴∠A +∠COB = 30° + 60° = 90°. ∴∠OBA = 90°，即 AB⊥OB. ∴ AB 是⊙O 的切线. A 组 4．如图，AB 是⊙O 的弦，BC 与⊙O 相切于点 B，连接 OA，OB，若∠ABC = 70°，求∠A 的度数. 解：∵ BC 与⊙O 相切于点 B， ∴ BC⊥OB. ∵∠ABC = 70°， ∴∠OBA = 90° -∠ABC = 20°. 又∵ OA = OB， ∴∠A =∠OBA = 20°. A 组 *5．如图，⊙O 的半径为 3 cm，P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O 的切线，点 A，B 为切点，PO = 6 cm，求这两条切线的夹角及切线长. 解：连接 OA. ∵ PA 为⊙O 的切线， ∴ PA⊥OA. 在 Rt△POA 中，OA = 3 cm，PO = 6 cm，∴ sin∠APO = . A 组 *5．如图，⊙O 的半径为 3 cm，P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O 的切线，点 A，B 为切点，PO = 6 cm，求这两条切线的夹角及切线长. ∴∠APO = 30°. ∴ 两条切线的夹角∠APB = 2∠APO = 60°，切线长 PA = PO·cos30° = 6× = 3 (cm). A 组 *6．如图，若△ABC 的三边长分别为 AB = 9，BC = 6，AC = 5，△ABC 的内切圆⊙O 切 AB，BC，CA 于点 D，E，F，求 AF 的长. 解：∵△ABC 的内切圆⊙O 切 AB，BC，CA 于点 D，E，F， ∴ AF = AD，CF = CE，BD = BE. 设 AF = AD = x，CF = CE = y， BD = BE = z，则有 A 组 *6．如图，若△ABC 的三边长分别为 AB = 9，BC = 6，AC = 5，△ABC 的内切圆⊙O 切 AB，BC，CA 于点 D，E，F，求 AF 的长. AC = AF + CF = x + y = 5， BC = CE + BE = y + z = 6， AB = AD + BD = x + z = 9. 联立三个方程解得 x = 4. ∴ AF 的长为 4. A 组 7．证明：等腰三角形的内切圆与底边的切点是底边的中点. 已知：如图，AB = AC，⊙O 是△ABC 的内切圆，点 D 是切点. 求证：点 D 是 BC 的中点. 证明：连接 OB，OC，OD. ∵ AB = AC， ∴∠ABC =∠ACB. A 组 ∵⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴ BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB. ∴∠OBC =∠OCB. ∴ OB = OC. ∵ BC 与⊙O 相切于 D 点， ∴ OD⊥BC. ∴ 点 D 是 BC 的中点. A 组 8．如图，设△ABC 的内切圆的半径为 r，△ABC 的周长为 l，求△ABC 的面积 S. D E F 解：设切点为 D，E，F，连接 OA，OB，OC，OD，OE，OF. 则有 OD = OE = OF = r， 且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴ S = S△AOB + S△BOC + S△AOC = AB·OD + BC·OE + AC·OF = r(AB + BC + AC) = rl. A 组 9．如图，已知⊙O 的直径为 6 cm，OA = OB = 5 cm，线段 AB 经过⊙O 上一点，长为 8 cm. 求证：AB 所在的直线与⊙O 相切. D 证明：作 OD⊥AB 于点 D. ∵ OA = OB = 5 cm，AB = 8 cm， ∴ AD = BD = 4 cm. ∴ OD = = 3 cm， 即 OD 是⊙O 的半径. ∴ AB 所在的直线与⊙O 相切. B 组 10.（1）证明：如果圆的两条切线互相平行，那么连接两个切点的线段是直径. 已知：如图，AB，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，且 AB∥CD，连接 EF. 求证：EF 是⊙O 的直径. 证明：连接 OE，OF. ∵ AB，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，∴ OE⊥AB，OF⊥CD. B 组 10.（1）证明：如果圆的两条切线互相平行，那么连接两个切点的线段是直径. ∵ AB∥CD， ∴ E，O，F 三点在同一条直线上. ∴ 线段 EF 是⊙O 的直径. B 组 10.（2）利用（1）的结论，如何用两把曲尺和一把刻度尺测量圆形工件的直径？ 答：将直角曲尺的短直角边重合，使长直角边分别与圆形工件相切，然后用刻度尺测量曲尺的两个直角顶点之间的距离， 即为圆形工件的直径. B 组 *11．如图，P 是⊙O 外一点，PA，PB 是⊙O 的切线，点 A，B 为切点，PA = 4 cm，∠APB = 40°，C 是 上任意一点，过 C 作⊙O 的切线分别交 PA，PB 于 D，E. 求： （1）△PDE 的周长； 解：∵ PA，PB，DE 是⊙O 的 切线， ∴ PA = PB，DA = DC，EB = EC. ∴ △PDE 的周长为 PD + DE + PE B 组 *11．如图，P 是⊙O 外一点，PA，PB 是⊙O 的切线，点 A，B 为切点，PA = 4 cm，∠APB = 40°，C 是 上任意一点，过 C 作⊙O 的切线分别交 PA，PB 于 D，E. 求： （1）△PDE 的周长； = PD + DC + EC + PE = PD + DA + EB + PE， = PA + PB = 2PA = 2×4 = 8 (cm). B 组 （2）∠DOE 的度数. 解：∵∠APB = 40°， ∴∠PDE +∠PED = 180° -∠APB = 140°. ∴∠ADE +∠BED = (180° -∠PDE) + (180° -∠PED) = 360° - 140° = 220°. ∵ DA，EB，DE 是⊙O 的切线， ∴ DO，EO 分别平分∠ADE 和∠BED. ∴∠ODE +∠OED = 110°. ∴∠DOE = 180° - 110° = 70°. B 组 $