习题2.3 垂径定理（习题课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦垂径定理及勾股定理的应用，通过水管横截面水深计算、赵州桥桥拱半径求解等现实问题导入，衔接圆的半径、弦长关系，以已学勾股定理为支架，帮助学生构建圆中几何量计算的知识脉络。 其亮点在于以赵州桥、同心圆等情境引导学生用数学眼光抽象几何模型，通过推理证明（如AC=BD的证明）和计算培养数学思维，用规范符号语言表达解题过程。学生能提升应用意识和推理能力，教师可借助典型例题高效开展教学。

九（下）数学教材习题 习题 2.3 湘 教 版 1．如图，这是一种水管的横截面，它的内径 d = 50 cm，如果水面宽 40 cm，那么此时水的深度是多少？ 解：如图，连接 OA，作水管内圆的半径 OC⊥水面 AB 于点 D. 则 OA = OC = d = 25 cm，AD = BD. ∵ AB = 40 cm，∴ AD = 20 cm. O A B C D A 组 1．如图，这是一种水管的横截面，它的内径 d = 50 cm，如果水面宽 40 cm，那么此时水的深度是多少？ ∴ OD = = = 15 (cm). ∴ CD = OC - OD = 25 - 15 = 10 (cm). 答：此时水的深度是 10 cm. O A B C D A 组 2．如图，AB 是⊙O 的弦，点 C，D 是弦 AB 上两点，并且 OC = OD. 求证：AC = BD. 证明：过 O 作 OE⊥AB 于点 E. 则由垂径定理得 AE = BE. 在△COD 中，∵ OC = OD， ∴ CE = DE. ∴ AE - CE = BE - DE， 即 AC = BD. E A 组 3．如图，1400 年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2 m，求桥拱的半径（精确到 0.1 m）. 解：根据题意抽象出如图所示的图形，其中 AB = 37.4 m，CD = 7.2 m. A 组 设半径 OB = OD = x m，则 OC = (x - 7.2) m. ∵ D 为弧 AB 的中点， ∴ OD⊥AB 于 C，BC = AB = ×37.4 = 18.7 (m). 在 Rt△BOC 中，由勾股定理得 OC2 + BC2 = OB2， ∴ (x - 7.2)2 + 18.72 = x2， 解得 x ≈ 27.9. 答：桥拱的半径约为 27.9 m. A 组 4．圆心相同，半径不同的两个圆叫同心圆. 如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，小圆的弦 AB 的延长线交大圆于点 C. 若 AB = 4，BC = 1，求圆环的面积. D 解：过 O 作 OD⊥AC 于 D，连接 OB，OC. 则 BD = AB = 2，CD = 2 + 1 = 3. 设 OD = d，OB = r，OC = R. B 组 D 在 Rt△BOD 和 Rt△COD 中，由勾股定理可得d2 + 22 = r2，d2 + 32 = R2. 将两式相减，得 R2 - r2 = 9 - 4 = 5. ∴ S圆环 = S大圆 - S小圆 = πR2 - πr2 = π(R2 - r2) = 5π. B 组 5．如图，你能平分这段圆弧吗？说说你的作法及理由. 作法：① 连接 AB； ② 作 AB 的垂直平分线，交 弧 AB 于点 M. 则点 M 平分弧 AB. 理由：垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧. M B 组 $