第1章 二次函数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、图像与性质、平移规律、表达式求法、与一元二次方程的关系及应用，通过要点梳理和表格对比（如顶点式与一般式的开口方向、对称轴等性质对比），构建起知识间的逻辑联系，帮助学生形成完整的二次函数知识网络。 其亮点在于通过“考点例题-方法总结-针对训练”的分层设计，如例7利润问题培养数学建模意识，例3图像分析题提升推理能力，针对训练中不同难度题目满足个性化需求。这种设计既强化抽象能力和应用意识，又帮助学生巩固知识，为教师提供精准复习指导。

第1章 二次函数 小结与复习 优翼九下数学教学课件（XJ） 一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　) 的函数，叫做二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠ 0 【注意】(1) 等号右边必须是整式； (2) 自变量的最高次数是 2； (3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数． 1. 二次函数的概念 要点梳理 二次函数 y = a(x − h)2 + k y = ax2 + bx + c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 2. 二次函数的图象与性质： a＞0 时开口向上 a＜0 时开口向下 x = h (h，k) y最小 = k y最大 = k 在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘ 在对称轴左边 x↗y↘，在对称轴右边 x↗y↗ y最小= y最大= 3. 二次函数图象的平移 y＝ax2 左、右平移，自变量左加右减 上、下平移，常数项上加下减 y＝-ax2 写成一般形式 沿 x 轴翻折 4. 二次函数表达式的求法 （1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 ) （2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 ) （3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 ) 5. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三种情况:有两个交点，有两个重合的交点，没有交点.当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 的根. 二次函数 y = ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0的实数根 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 根的判别式 (b2 - 4ac) 有两个公共点 有两个不同的实数根 b2 - 4ac ＞ 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2 - 4ac = 0 没有公共点 没有实数根 b2 - 4ac ＜ 0 6. 二次函数的应用 （1）二次函数的应用包括以下两个方面： ① 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； ② 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． （2）一般步骤：① 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；② 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；③ 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；④ 检验结果的合理性，是否符合实际意义． 例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是(　　) A. y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2 B 考点一 二次函数的图象和性质 例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为________． (1，2) 考点讲练 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　) A．1　　 　B．2　　　　　 C．3　　　　　D．4 解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴 x＞－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为 －1 的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2， 故④正确．故选D. 方法总结 1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称轴是 y 轴；a、b同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b异号⇔对称轴在 y 轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”. 2. 当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上 x＝1 的点在 x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上 x＝－1的点判断 a－b＋c 的符号. 例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 B 例5 若函数 y = x2-2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是（　　） A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1 A 1. 对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是 (　 ) A. 顶点坐标为 (－3，2) B. 对称轴为 y＝3 C. 当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小 C 针对训练 2. 下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是(　) A. y = B. y = x-1 C. D. y = -3x2 D 3. 已知二次函数 y = －x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线 x = 1 的左侧而抛物线 y=－x2＋2bx＋c 的对称轴 ，即b≤1，故选择 D . 4. 如图，抛物线 y = ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴一个交点为（-2，0），对称轴为直线 x = 1，则 y＜0 时 x 的范围是（　　） A．x＞4 或 x＜-2 B．-2＜x＜4 C．-2＜x＜3 D．0＜x＜3 B 5. 若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则必须（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 考点二 用待定系数法求二次函数表达式 例6 已知关于 x 的二次函数，当 x = －1 时，函数值为 10，当 x = 1 时，函数值为 4，当 x = 2 时，函数值为 7，求这个二次函数的表达式. 待定系数法 解：设所求的二次函数为 y＝ax2+bx＋c, 由题意得： 解得， a = 2，b = －3，c = 5. ∴ 所求的二次函数表达式为 y＝2x2－3x＋5. 6. 已知抛物线 y = ax2+bx+c 与抛物线 y = －x2－3x+7的形状相同，顶点在直线 x = 1上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式. 解:∵抛物线 y = ax2+bx+c 与抛物线 y = －x2－3x+7 的形状相同 ∴ a = 1或－1. 又∵顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5， ∴ 顶点为 (1，5) 或 (1，－5). 所以其表达式为: (1) y = (x－1)2+5 (2) y = (x－1)2－5 (3) y = －(x－1)2+5 (4) y = －(x－1)2－5 例7 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75时，y＝45. (1) 求一次函数的表达式； (2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 考点三 二次函数的应用 解：(1) 根据题意，得 解得 k = -1，b = 120. 故所求一次函数的表达式为 y = -x+120. (2)W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2+900， ∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W 随 x 的增大而增大， 而60≤x≤60×(1+45%)，即60≤x≤87， ∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900 = 891. 7. 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题： (1) 求该抛物线对应的二次函数表达式；(2) 该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3) 若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析． 针对训练 解：(1) 因图象过原点，则设函数表达式为 y = ax2+bx，由图象的点的含义，得 解得 a=-1，b=14.故所求二次函数的表达式为 y=-x2+14x. (2) y = -x2+14x = -(x-7)2+49. 即当 x = 7 时，利润最大，y = 49 (万元） (3) 没有利润，即y = -x2+14x = 0.解得x1 = 0(舍去)或x2 = 14，而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损. 例8　如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作 DE⊥AB于点 E，将△ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 F 处，DF 交 BC 于点 G. (1) 用含有 x 的代数式表示 BF 的长； (2) 设四边形 DEBG 的面积为S，求 S 与 x 的函数关系式； (3) 当 x 为何值时，S 有最大值？ 并求出这个最大值． 解：(1)由题意，得EF = AE = DE = BC = x， AB = 30. ∴BF = 2x-30. (2)∵∠F = ∠A = 45°，∠CBF = ∠ABC = 90°， ∴∠BGF = ∠F = 45°，BG = BF = 2x-30. 所以S△DEF-S△GBF = DE2- BF2 = x2- (2x-30)2 = x2+60x-450. (3)S= x2+60x-450= (x-20)2+150. ∵a = ＜0，15＜20＜30， ∴当 x = 20 时，S 有最大值. 最大值为 150. 8. 张大伯准备用 40 m 长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长 25 m 的墙，设计了如图一个矩形的羊圈. (1) 请你求出张大伯矩形羊圈的面积； 25 m 解：(1)由题意得羊圈的长为 25 m， 宽为 (40 - 25)÷2 = 7.5 (m). 故羊圈的面积为 25×7.5 = 187.5 ( m2 ) 针对训练 (2) 请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由. (2) 设羊圈与墙垂直的一边为 x m，则与墙相对的一边长为(40 - 2x)m，羊圈的面积 S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x = -2(x -10)2 + 200(7.5≤x＜20). ∵7.5≤10＜20，所以当 x = 10 时， S 有最大值，此时 S = 200. 故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为 10 m，而与墙相对的一边长为(40-2x) m = 20 m. 25 m 考点四 二次函数与几何的综合 例9 如图，抛物线y=x2+bx+c经过点 (1，-4) 和 (-2，5)，请解答下列问题： (1) 求抛物线的表达式； 解：(1) 由题意，得 解得 所以，该抛物线的表达式为y = x2-2x-3； (2) 若抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，与 y 轴交于点C．在该抛物线上是否存在点 D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由. (2) ∵抛物线y = x2-2x-3的对称轴为x = 1， ∴图中点 C 关于 x = 1的对称点 D 即为所求， 此时，AC = BD，BC = AD， 在△ABC和△BAD中， ∴△ABC≌△BAD（SSS）． 在 y = x2-2x-3 中，令x = 0，得y = -3， 则C（0，-3），∴D（2，-3）． 二次函数 二次函数的概念 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数的应用 课堂小结 见教材章末练习 课后作业 $