1.3 不共线三点确定二次函数的表达式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“不共线三点确定二次函数的表达式”，通过复习一次函数待定系数法导入，引导学生从“2个系数需2点”迁移到“3个系数需3点”，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于分层渗透数学思维与模型意识，通过一般式、顶点式、交点式的典例解析，结合“设-代-解-还原”步骤培养推理能力。课堂小结清晰对应已知条件与方法选择，帮助学生构建知识网络，既提升学生运算与问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 第1章 二次函数 优翼九下数学教学课件（XJ） 复习引入 1. 一次函数 y = kx+b( k ≠ 0 ) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2个 2个 导入新课 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法： (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 探究归纳 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，要求这个二次函数的表达式. x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 一般式法求二次函数的表达式 新课讲授 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2+bx+c，把 (-3，0)，(-1，0)，（0，-3）代入 y = ax2+bx+c 得 ① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c = -3， 解得 a= -1， b= -4， c= -3. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -x2-4x-3. 待定系数法 步骤： 1.设： (表达式) 2.代： (坐标代入) 3.解： 方程(组) 4.还原： (写解析式) 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为 y = ax2 + bx + c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到 a，b，c 的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 例1 一个二次函数的图象经过 (0， 1)、( 2，4)、( 3，10) 三点，求这个二次函数的表达式. 典例精析 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，由于这个函数经过点 ( 0， 1)，可得 c =1. 又由于其图象经过 ( 2，4)、( 3，10) 两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ （1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）； （2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）. 解 （1）设有二次函数 y = ax2+bx+c，它的图象经过 P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c= -5， a - b+ c = 3， 4a + 2b+c = -3， 解得 a = 2，b = -4，c = -3. 因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点. (2) 设有二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组： a + b + c = -5， a - b + c = 3， 4a + 2b + c = -9， 解得 a =0，b = -4，c = -1. 因此，一次函数 y = - 4x -1 的图象经过 P，Q，M 三点. 这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过 P，Q，M 三点. 问题：例 2 说明了什么？  若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.  二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 选取顶点 (-2，1) 和点 (1，-8)，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8) 代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8， 解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1 或 y = -x2 - 4x -3. 利用顶点式求二次函数的表达式 典例精析 例2 一个二次函数的图象经点 ( 0， 1)，它的顶点坐标为( 8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为( 8，9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又由于它的图象经过点(0 ，1)，可得 1 = a(0 -8)2 + 9. 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 归纳总结 顶点法求二次函数表达式的方法 这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是 y = a(x - h)2 + k； ②先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式. 解：因为 ( -3，0)、( -1，0) 是抛物线 y = ax2+bx+c 与 x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是 y = a(x - x1)(x - x2). (其中x1、x2为交点的横坐标) 因此得 y = a(x + 3)( x + 1). 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 利用交点式求二次函数的表达式 解得 a = -1， 再把点( 0，-3)代入上式得 所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3， 所以所求的二次函数的表达式是 y = -( x + 3)( x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3. 归纳总结 交点法求二次函数解析式的方法 这种已知抛物线 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是 y = a(x - x1)(x - x2)； ②先把两交点的横坐标 x1，x2 代入，得到关于 a 的一元 一次方程； ③将另一坐标的点代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式. 1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 注 y = ax2 与 y = ax2 +k、y = a(x -h)2、y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. 注意 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 2 1 -1 3 4 5 . 当堂练习 2. 过点(2，4)，且当 x = 1时，y 有最值为 6 ，则其表达 式是 . 顶点坐标是 ( 1，6) y = -2(x -1)2 +6 3. 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2 ＋bx＋c． 依题意得 ∴这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a－b＋c＝－5， 解得 b＝3， c＝－4， a＝2， 4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点 A(－1，0)，B(1，0) 是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝ a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点 M(0，1)， 所以1＝ a(0＋1)(0－1)，解得 a＝ －1， 所以所求抛物线的表达式为 y＝ －(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2 ＋1. 5. 已知一条抛物线经过 E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1) 四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线表达式的为(　　) A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G C 6. 如果抛物线 y = x2 - 6x + c -2 的顶点到 x 轴的距离是 3，那么 c 的值等于(　　) A．8 B．14 C．8或14 D．-8 或 -14 C 7. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点A(－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c ＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3， ∴b＝6，∴c＝5， ∴抛物线的表达式是 y ＝ x2＋6x＋5； (2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积． 解：∵CD∥x轴，∴点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称． ∵点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8， ∴点 C 的横坐标为 －7， ∴点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点 B 的坐标为 (0，5)， ∴△BCD 中 CD 边上的高为 12－5＝7， ∴△BCD 的面积＝ ×8×7＝28. ① 已知三点坐标 ② 已知顶点坐标或对称轴或最值 ③ 已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2+bx+c 用顶点法：y = a(x - h)2 +k 用交点法：y = a(x -x1)(x -x2) (x1，x2 为与 x 轴交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数表达式 课堂小结 $