1.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，通过情境引入连接已学的顶点式，引导学生用配方法将一般式转化为顶点式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“提、配、化”三步配方法推导顶点式公式，结合练一练、典例精析等环节，培养学生运算能力与推理意识。如例1通过对称轴分析函数值大小，帮助学生用数学思维解决问题，既提升学生抽象能力，又为教师提供清晰的教学流程。

1.2 二次函数的图象与性质 第1章 二次函数 第5课时 二次函数 y =ax2+bx+c 的图象与性质 优翼九下数学教学课件（XJ） 我们已经知道形如 y = a(x-h)2+k 的二次函数的图象的画法，可在生活和学习中，很多二次函数是用一般形式 y=ax2+bx+c 表示的，如图. 情境引入 y = ax2+bx+c 用一般式表示 ？根据一般式画图象 导入新课 探究 问题1：如何画出 的图象呢? 我们已经会画 y = a(x-h)2 + k的图象，因此，只需要把 配方成 的形式就可以了. 将一般式 y = ax2+bx+c 化成顶点式 y =a(x-h)2+k 新课讲授 配方法 提取二次项系数 配方 整理 化简：去掉中括号 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 温馨提示: 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式 . 我们如何用配方法将一般式 y = ax2 +bx+c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x-h)2 + k ？ y = ax² +bx+c 归纳总结 一般地，二次函数 y =ax2+bx+c 的可以通过配方化成 y = a(x - h)2 +k 的形式，即： 将函数 化为 y = a(x-h)2 + k 的形式. 解： 配方： 练一练 根据顶点式 确定对称轴，顶点坐标. x … 6 7 8 9 … … … 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 6 开始取值. 对称轴：直线 x = 6；顶点坐标：(6，3). 3 3.5 5 7.5 问题2：我们已经知道 ， 那么现在你会画这个二次函数的图象吗? 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与性质 描点、连线，画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，即得. O x 5 5 10 ● ● ● ● ● （6，3） ● ● y （6,3） 问题3：从图看出，当 x 等于多少时，函数 的值最小？这个最小值是多少？ O x 5 5 10 当 x 等于顶点的横坐标 6 时，函数值最小，这个最小值等于顶点的纵坐标 3. 问题4：这个函数的增减性是怎样的？ 当 x < 6 时，函数值随 x 的增大而减小；当 x > 6 时，函数值随 x 的增大而增大. y 归纳总结 抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 (1) x y O 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随x 的增大而减小；当 x ＞ 时，y 随 x 的增大而增大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 . 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 (2) x y O 如果 a < 0，当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数达到最大值，最大值为 . 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质 练一练 填表： 顶点坐标 对称轴 最值 y = -x2+2x y = -2x2-1 y = 9x2+6x-5 (1，1) x = 1 最大值 1 (0，-1) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( ，-6) 直线 x= 例1 若点 A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线 y＝x2－4x－m 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是 (　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 解析：∵二次函数 y＝x2－4x－m 中 a＝1＞0， ∴开口向上，对称轴为 x＝2. ∵A(2，y1)中 x＝2，∴ y1最小． 又∵B(－3，y2)，C(－1，y3) 都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小， 故 y2＞y3.∴ y2＞y3＞y1. 故选C. 典例精析 C 例2 在同一直角坐标系中，函数 y＝mx＋m 和函数 y＝mx2＋2x＋2 ( m 是常数，且 m ≠ 0 )的图象可能是(　　) 解析：A、B 中由函数 y＝mx＋m 的图象可知 m＜0， 即函数 y＝mx2＋2x＋2 开口方向朝下， 对称轴为 ，则对称轴应在 y 轴右侧，故A、B选项错误； C 中由函数 y ＝ mx＋m 的图象可知 m ＞0，即函数 y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为 ＜0， 则对称轴应在 y 轴左侧，故 C 选项错误； D 中由函数 y＝ mx＋m的图象可知 m＜0，即函数 y＝mx2＋2x＋2 开口方向朝下，对称轴为 ＞0，则对称轴应在 y 轴右侧，与图象相符，故选D． 例3 如图是二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0) 图象的一部分， x= -1 是对称轴，有下列判断：① b-2a = 0；② 4a-2b+c < 0；③ a-b+c = -9a；④ 若(-3，y1)，( ，y2)是抛物线上两点，则 y1 > y2.其中正确的是 ( ) A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x = -1 B 二次函数的图象与系数的关系 1. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线 x = 3 直线 x = 8 直线 x = 1.25 直线 x = 0.5 当堂练习 2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为 y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 解析：y＝x2－3x＋5 化为顶点式为 y＝(x－ )2＋ .将 y＝(x－ )2＋ 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2个单位长度，即为 y ＝ x2＋bx＋c.则 y＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋ ，化简后得 y＝x2＋3x＋7，即 b＝3，c＝7. 故选 A. A 3. 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　) A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2， ∴ a＞0，y最小值＝ ＝ ＝ 2， 整理，得 a2－3a－4＝0，解得 a＝－1 或 4. ∵ a＞0，∴ a＝4. 故选C. C 4.已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当 x＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线 x=1的左侧，而抛物线 y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . D 5. 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：① a＜0；② a＋b＋c＞0；③ ＞0；④ abc＞0.其中正确的结论是_______． ①②③ 6. 已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x = -1，P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) 是抛物线上的点，P3 (x3，y3)是直线 l 上的点，且 x3＜-1＜x1＜x2，则 y1，y2，y3 的大小关系是 (　　) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 D 7. 如图，已知二次函数 y＝－ x2＋bx＋c 的图象经过 A(2，0) ，B(0，－6)两点． (1) 求这个二次函数的解析式； 解：(1) 把 A(2，0)、B(0，－6)代入 y＝－ x2＋bx＋c 得 ∴这个二次函数的解析式为 y＝－ x2＋4x－6； 解得 (2) 设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点C，连接 BA、BC，求 △ABC 的面积． (2)∵该抛物线对称轴为直线 x＝ ＝4， ∴点 C 的坐标为(4，0)， ∴AC＝OC－OA＝4－2＝2. ∴S△ABC＝ ×AC×OB＝ ×2×6＝6. 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 最值： 当堂练习 $