2.7 正多边形与圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件围绕“正多边形与圆”展开，涵盖概念、关系、计算、画法及对称性等核心知识点。通过观察多边形边角特点的情境问题导入，结合“判一判”区分矩形、菱形与正多边形，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接圆的性质与正多边形知识。 其亮点是以问题链驱动探究，如通过五边形实例推理圆等分与正多边形关系，培养推理意识。结合亭子地基面积计算等生活实例和对称性对比表格，发展几何直观与应用意识。学生能提升抽象能力和空间观念，教师可利用系统流程和多样化练习提高教学效率。

2.7 正多边形与圆 第2章 圆 优翼九下数学教学课件（XJ） 情境引入 问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？ 它们的各边都相等，各内角也相等. 导入新课 各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有 n (n≥3) 条边，那么这个正多边形叫做正 n 边形. 概念学习 正多边形与圆的关系 新课讲授 1. 如图 ① ，矩形 ABCD 是正四边形吗？( ) 2. 如图 ② ，菱形ABCD是正四边形吗？( ) 图① 图② (理由：AB BC， CD DA.) ( 理由：∠A ∠B， ∠C ∠D. ) × × ≠ ≠ ≠ ≠ 判一判 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 探究归纳 · A B C D E O 解： ∴ AB = BC = CD = DE = EA. 同理 ∠B = ∠C = ∠D = ∠E. ∴ ∠A = ∠B.　 ∴ 五边形 ABCDE 是正五边形. 问题2 如图，把 ⊙O 分成相等的 5 段弧，即 ，依次连接各等分点，所得五边形 ABCDE 是正五边形吗？ ∵ ∴ 弦相等 (多边形的边相等) 圆周角相等 (多边形的角相等) —所得的多边形是正多边形 问题3 将圆 n (n≥3) 等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？ 弧相等— 将一个圆 n(n≥3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正 n 边形的各顶点 n 等分其外接圆. 归纳 O C D A 圆内接正多边形的有关概念及性质 O A B C D E F G H R r 正多边形外接圆的圆心，称其为正多边形的中心. 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距. 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫作正多边形的中心角. 正多边形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 正多边形的外角=中心角 完成下面的表格： 练一练 想一想 问题4 正 n 边形的中心角怎么计算？ C D O B E F A P 问题5 正 n 边形的边长 a，半径 R，边 心距 r 之间有什么关系？ a R r 问题6 边长 a，边心距 r 的正 n 边形的面积如何计算？ 其中 l 为正 n 边形的周长. 圆内接正多边形的有关计算 例1 有一个亭子,它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的面积(精确到 0.1 m2). C D O E F A P 抽象成 典例精析 B 利用勾股定理，可得边心距 则亭子地基的面积 4m O A B C D E F M r 解：过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 易得 △OBC 为正三角形. ∴ BC = OB = 4， 2. 作边心距，构造直角三角形. 1. 连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · 圆内接正多边形的辅助线 方法归纳 O 边心距r 边长一半 半径R C M 中心角一半 1. 如图，正方形 ABCD 是 ⊙O 的内接正方形，点 P是劣弧 CD 上不同于点 C 的任意一点，则 ∠BPC 的度数是_______度． 练一练 45 解：连接 AO，BO，CO，AC， ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2， ∴AO = BO = CO = 2，∠AOB =∠BOC = ， ∴∠AOC =90°， ∴AC= ，此时 AC 与 BO 垂直， ∴S四边形 AOCB = ∴正八边形面积为： ． 2. 如图，正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，它的面积 为______． 问题7 如何作一个正多边形呢？(提示：圆与多边形的关系) 只要将一个圆 n 等分，就可以得到正 n 边形. 问题8 如何将圆 n 等分呢？ 用量角器将圆心角 n 等分，就可以将圆 n 等分. 正多边形的画法 例2 用量角器画 ⊙O 的内接正六边形. 方法归纳 用量角器画正 n 边形的一般方法： （1）作圆； （2）用量角器作 的中心角，得圆的 n 等分点； （3）依次连接各等分点，得圆的内接正 n 边形. 分析：关键是用量角器画 60° 的中心角. 60º 典例精析 思考 还有其它的方法可以作出⊙O的内接正六边形吗？ 例3 已知 ⊙O 的半径为 r ，求作 ⊙O 的内接正六边形. 分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 ， 所以正六边形的边长与圆的半径 . 因此，在半径为 r 的圆上依次截取等于 的弦， 即可将圆六等分. 60° 相等 r A B C D E F 作法：(1) 在 ⊙O 上以任意一点 A 为圆心、以 r 为半径画弧，连续截取点 B、C、D、E、F； (2) 依次连接 AB、BC、CD、DE、EF、FA，则六边形 ABCDEF 即为所求. 问题 9 正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的对称轴. 正多边形的对称性 正三角形 (奇数边) 正方形 (偶数边) 正五边形 (奇数边) 正六边形 (奇数边) 讨论与归纳 1. 正 n 边形 轴对称图形，共有 条对称轴； 2. n 为奇数时，n 条对称轴过中心与 ； (如上图中蓝色直线) 是 n 顶点 正三角形 (奇数边) 正方形 (偶数边) 正五边形 (奇数边) 正六边形 (奇数边) 顶点 中 问题10 下列正多边形中哪些是中心对称图形？哪些是旋转对称图形？ 问题11 如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合？ O O O O 3. n 为为偶数时，n 条对称轴中： 条过中心与 ； (如上图中蓝色直线) 条过中心与边的 点. (如上图中红色直线) 归纳总结 正 n 边形 ( n 为偶数) 是中心对称图形，它的对称中心就是这个正 n 边形的中心. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 是 否 中 心 对 称 图 形 是 否 旋 转 对 称 图 形 绕 中 心 旋 转 最 少 角 度 数 × √ × √ √ √ √ √ 120° 90° 72° 60° 2. 若正多边形的边心距与半径的比为 1∶2，则这个 正多边形的边数是 . 正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 1. 填表： 2 1 2 8 4 2 2 12 3 当堂练习 3. 已知一个正多边形的每个内角均为 108° ，则它的中心角为________度． 72 4. 下列说法正确的是 ( ) A. 各边都相等的多边形是正多边形 B. 一个圆有且只有一个内接正多边形 C. 圆内接正四边形的边长等于半径 D. 圆内接正 n 边形的中心角度数为 D 6. 要用圆形铁片截出边长为 4 cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小为 cm. 也就是要找这个正方形外接圆的直径 5. 如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状可近似 看作是正七边形，则一个内角为 度.（不取 近似值） 正多边形和圆 正多边形和圆的关系 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正 n 边形各顶点等分其外接圆. 正多边形的 画法 1. 用量角器作图 2. 尺规作图 课堂小结 $