2.5.4 三角形的内切圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”，通过木工裁圆形木料的情境导入，引导学生猜想最佳方案，经合作探究、作图实践及观察思考，从直线与圆的位置关系自然过渡到内切圆概念，构建“概念-性质-应用”的知识支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过作图推理发展数学思维，用例题练习强化数学语言。如例2用切线长定理建立方程，例3推导直角三角形内切圆半径公式，助力学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供结构化探究式教学资源。

2.5 直线与圆的位置关系 第2章 圆 2.5.4 三角形的内切圆 优翼九下数学教学课件（XJ） 情境引入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案. A B C A B C A B C A B C 方案一 方案二 方案三 方案四 √ 导入新课 合作探究 猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________. A B C 方案二 切 ∟ ∟ ∟ O 三角形的内切圆 新课讲授 画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？ 如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等. 半径 A B C Ｅ ∟ ∟ ∟ O Ｄ Ｆ 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B的___________的___点. 平分线 平分线 交 A B C Ｅ ∟ ∟ ∟ O Ｄ Ｆ 已知：△ABC. 求作：和 △ABC 的各边都相切的圆. 做一做 作法： 1. 作 ∠B 和∠C 的平分线 BM 和 CN，交点为 O. 2. 过点 O 作 OD⊥BC.垂足为 D. 3. 以 O 为圆心，OD 为半径作圆 O. ☉O 就是所求的圆. M N D O 观察与思考 与 △ABC 的三条边都相切的圆有几个？ 因为∠B 和∠C 的平分线的交点只有一个，并且交点 O 到 △ABC 三边的距离相等且唯一，所以与 △ABC 三边都相切的圆有且只有一个. D 知识要点 A B C Ｏ Ｍ N F 外切三角形 内切圆 内心 1. 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 4. 三角形的内心就是三角形三条角平分线 的交点. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1. OA = OB = OC； 2. 外心不一定在三角形的内部． 三角形三条角平分线的交点 1. 到三边的距离相等； 2. OA、OB、OC 分别 平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3. 内心在三角形内部． A B O A B C O C 例1 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A = 70°， 求 ∠BOC 的度数。 A B C O 解：∵∠A = 70° ∴∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110° ∵⊙O 是△ABC 的内切圆 ∴BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线 即∠OBC = ∠ABC ，∠OCB = ∠ACB 典例精析 ∴∠BOC = 180°-(∠OBC+∠OCB) = 180°- (∠ABC +∠ACB) = 180°- ×110° = 125°. A B C O 例2 △ABC 的内切圆 ⊙O 与BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长. 解: 设 AF = x cm，则 AE = x cm. ∴CE = CD = AC - AE = (9 - x) cm， BF = BD = AB - AF = (13 - x) cm. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ A C B E D F O 由 BD+CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， ∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm. 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 解得 x = 4. A C B E D F O 例3 如图，Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ a，AC ＝b， AB ＝ c，⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆. 求：Rt△ABC 的内切圆的半径 r. ∵ ⊙O 与Rt△ABC 的三边都相切 ∴AD ＝ AF，BE ＝ BF，CE ＝ CD 解：设 Rt△ABC 的内切圆与三边相切 于 D、E、F，连接 OD、OE、OF，则 OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB. B · A C E D F O 设 AD = x ， BE = y ，CE ＝ r . 则有 x＋r ＝ b ， y＋r ＝ a ， x＋y ＝ c ， 解得 r＝ a＋b－c 2 B · A C E D F O 设 Rt△ABC 的直角边为 a、b，斜边为 c，则 Rt△ABC的内切圆的半径 r＝ 或 r＝ (前面课时已证明). a＋b－c 2 ab a＋b＋c 知识拓展 (1) 三角形的内心是三角形三边中垂线的交点.（ ） (2) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.（ ） (3) 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等.（ ） (4) 三角形的内心到三角形各边的距离相等.（ ） (5) 三角形的内心一定在三角形的内部.（ ） (6) 三角形的内心与一顶点的连线平分该顶点处的内角. （ ） 错 对 对 对 错 对 1. 判断对错 当堂练习 2. 如图，已知点 O 是△ABC 的内心，且∠ABC = 60°， ∠ACB = 80°，则∠BOC = . 110° A B C O 3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF = 3，BD + CE = 12，则 △ABC 的周长是 . A B C F E D O 第3题 30 · B D E F O C A 4. 如图，△ABC 的内切圆的半径为 r，△ABC 的周长为 l，求△ABC 的面积 S . 解：设△ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F， 连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴S△ABC ＝ S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC ＝ AB·OD ＋ BC·OE ＋ AC·OF ＝ l·r 设 △ABC 的三边为 a、b、c，面积为 S，△ABC 的内切圆的半径 r ＝ ； 当 △ABC 为直角三角形，a、b为直角边时， r = . 2s a＋b＋c ab a＋b＋c 知识拓展 5. 如图，已知 E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线交 BC于点 F，且与 △ABC 的外接圆相交于点 D. (1) 证明：∵E 是 △ABC 的内心， ∴∠ABE ＝ ∠CBE，∠BAD ＝ ∠CAD. 又∵∠CBD ＝ ∠CAD， ∴∠BAD ＝ ∠CBD. ∴∠CBE＋∠CBD ＝ ∠ABE＋∠BAD. 即∠DBE ＝ ∠DEB， 故 BD ＝ ED. (1) 求证：BD ＝ ED； (2) 若AD ＝ 8 cm，DF:FA ＝ 1:3.求 DE 的长． (2) 解：∵AD ＝ 8 cm，DF∶FA ＝ 1∶3， ∴DF ＝ AD＝ ×8＝ 2 ( cm )． ∵∠CBD ＝ ∠BAD，∠D ＝ ∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ， ∴BD2 ＝ AD·DF＝ 8×2 ＝ 16， ∴BD ＝ 4 cm. 又∵BD ＝ DE， ∴DE ＝ 4 cm. 拓展提升： 6.直角三角形的两直角边分别是 3 cm ，4 cm，试问： (1) 它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm. (2) 若移动点 O 的位置，使 ☉O 保持与△ABC 的边 AC、BC 都相切，求 ☉O的半径 r 的取值范围. · A B C E D F O 1 解：设 BC = 3 cm，由题意可知与 BC、AC 相切的最大圆与 BC、AC 的切点分别为 B、D，连接 OB、OD，则四边形 BODC 为正方形. · A B O D C ∴OB ＝ BC ＝ 3 cm， ∴半径 r 的取值范围为 0＜ r ≤ 3 cm. 只适合于直角三角形 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 有关概念 内切圆 应用 重要结论 内心(三角形三条角平分线的交点) 外切三角形 课堂小结 $