2.5.2 第2课时 切线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“圆的切线性质”，通过复习切线定义及判定方法（唯一公共点、d=r、判定定理）搭建学习支架，引导学生从已知过渡到性质探究，构建完整知识脉络。 其亮点在于以合作探究（量角器测量、反证法证明）培养推理意识，结合例题（如连圆心与切点构造直角三角形）发展几何直观，辅助线总结“见切线连切点得垂直”助力数学语言表达，提升学生逻辑思维与问题解决能力，为教师提供系统教学流程与方法支持。

2.5 直线和圆的位置关系 第2章 圆 第2课时 切线的性质 2.5.2 圆的切线 优翼九下数学教学课件（XJ） 复习引入 1. 什么是圆的切线? 2. 判断一条直线是圆的切线有哪些方法? 直线与圆只有一个公共点，那么这条直线叫作圆的切线. ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理． 即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 导入新课 问题1 如果直线 l 是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么切线 l 和半径 OA 垂直吗？ A l O 合作探究 切线的性质 新课讲授 大家可以先用量角器量量看. 两者成 90°角，也就是说切线 l 与半径 OA 垂直. 推导与验证 反证法证明这个结论 假设 l 与 OA 不垂直 则过点 O 作 OM ⊥ l，垂足为 M 根据垂线段最短，得 OM ＜ OA 即圆心 O 到直线 l 的距离小于半径， ∴ 直线 l 与⊙O 相交 这与已知“ l 是⊙O 的切线”矛盾 ∴ 假设不成立，即 l ⊥OA. M A l O A l O ∵直线 l 是 ⊙O 的切线，A 是切点， ∴直线 l ⊥ OA. 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 要点归纳 例1 如图. AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D. 求证：AC 平分∠DAB. 证明：连接 OC， ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD， ∴OC // AD，∴∠ACO = ∠CAD. ∵OC = OA. ∴ ∠CAO = ∠ACO. ∴ ∠CAD = ∠CAO. 故 AC 平分∠DAB. ∵CD 是 ⊙O 的切线， A B O C D 方法总结 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. A B O C D l1 O B A l2 例2 证明：经过直径两端点的切线互相平行. 已知：如图，AB 是圆 O 的直径，l1，l2 分别是经过点 A，B 的切线. 求证：l1 // l2. 证明：∵AB 是圆 O 的直径， l1 是过点 A 的切线， ∴ l1 ⊥ OA.同理 l2⊥ OB. ∴ l1 ⊥ AB，且 l2⊥ AB. ∴ l1 // l2 . 例3 如图，已知 BC 是 ⊙O 的直径，AC 切 ⊙O 于点C，AB 交 ⊙O 于点 D，E 为 AC 的中点，连接 DE． （1）若AD = DB，OC = 5，求切线 AC 的长； （1）解：连接 CD，∵BC 是 ⊙O 的直径， ∴∠BDC = 90°，即 CD ⊥ AB， ∵AD = DB，OC = 5， ∴CD 是 AB 的垂直平分线， ∴AC = BC = 2 OC = 10； 切线的性质与判定的综合应用 （2）求证：ED 是 ⊙O 的切线． （2）证明：连接 OD，如图所示， ∵∠ADC = 90°，E 为 AC 的中点， ∴DE = EC = AC，∴∠1 = ∠2. ∵OD = OC，∴∠3 = ∠4. ∵AC 切 ⊙O 于点 C，∴AC ⊥ OC， ∴∠1+∠3 = ∠2+∠4 = 90°，即DE ⊥ OD， ∴ED 是 ⊙O 的切线． 1. 已知如图，在△ABC 中，AC 与 ⊙O 相切于点 C，(BC 过圆心)，∠BAC = 63°，则∠ABC 的度数为_________. 27° 当堂练习 2. 如图：在 ⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与 ⊙O 相切于点 B，若∠ABN = 30°，则∠AOB= . 3. 如图 AB 为 ⊙O 的直径，D 为 AB 延长线上一点，DC 与 ⊙O 相切于点 C，∠DAC = 30°， 若⊙O 的半径长 1 cm，则 CD = cm. 60° 4. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、C 两点，∠P ＝ 30°，连接 AO、AB、AC. (1) 证明：∵PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠OAP ＝ 90°. 又∵∠P ＝ 30°，∴∠AOB ＝ 60°， 又OA ＝ OB，∴△AOB 为等边三角形． ∴AB ＝ AO，∠ABO ＝ 60°. (1) 求证：△ACB ≌ △APO； (2) 解：在Rt△AOP 中， ∠P ＝ 30°，AP ＝ ， ∴AO ＝ 1，即 ⊙O 的半径为 1. (2) 若 AP ＝ ，求 ⊙O 的半径． 又∵BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC ＝ 90°. 在△ACB 和 △APO 中， ∠BAC ＝ ∠OAP，AB ＝ AO，∠ABO ＝ ∠AOB， ∴△ACB ≌ △APO； 5.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AP 是圆 O 的切线，A 是切点，BP 与圆 O 交于点 C． （1）若AB = 2，∠P = 30°，求 AP、AC、CP 的长. 解：（1）如图1，连接 AC． ∵AB 是直径，∴∠ACB = 90°． 又∵AB 是 ⊙O 的直径，AP 是切线， ∴∠BAP = 90°． ∴∠BAC = ∠P = 30°． 在Rt△PAB中，AB = 2，∠P = 30°， ∴BP = 2AB = 2×2 = 4．BC = AB= 1， 由勾股定理，得 AC = ， AP = ． 则 CP = BP - BC = 4 - 1 = 3； （2）若 D 为 AP 的中点，求证：直线 CD 是圆O的切线． （2）如图，连接 OC、AC． ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠BCA = 90°， 又∵∠ACP = 180° -∠BCA = 90°． 在 Rt△APC 中，D 为 AP 的中点， ∴CD = AP． ∴∠4 =∠3． 又∵OC = OA，∴∠1 =∠2． ∵∠2+∠4 = ∠PAB = 90°， ∴∠1+∠3 = ∠2 +∠4 = 90°，即OC⊥CD． ∴直线 CD 是 ⊙O 的切线． 6. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB 是直径，⊙O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OF∥BC 交 AC 于点 E，交 PC 于点 F，连接 AF； （1）判断 AF 与 ⊙O 的位置关系并说明理由． （1）证明：连接 OC，如图所示： ∵AB 是 ⊙O 直径，∴∠BCA = 90°， ∵OF ∥ BC，∴∠AEO = 90°， ∠1 = ∠2，∠B = ∠3， ∴OF⊥AC，∵OC = OB， ∴∠B = ∠1，∴∠3 = ∠2， 在 △OAF 和 △OCF 中， OA ＝ OC，∠3 ＝ ∠2，OF ＝ OF， ∴△OAF ≌ △OCF（SAS）. ∴∠OAF = ∠OCF. ∵PC 是 ⊙O 的切线， ∴∠OCF = 90°， ∴∠OAF = 90°， ∴FA ⊥ OA. ∴AF 是 ⊙O 的切线. （2）若 ⊙O 的半径为 4，AF = 3，求 AC 的长． （2）∵⊙O 的半径为 4，AF = 3，∠OAF = 90°， ∵FA ⊥ OA，OF ⊥ AC， ∴AC = 2AE，△OAF的面积= AF•OA = OF•AE， ∴3×4 =5×AE， 解得：AE = . ∴AC = 2AE = ． 切线的 性质 有1个公共点 d=r 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 性质定理 课堂小结 $