2.5.3 切线长定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，通过复习过圆上一点作切线的旧知，以“圆外一点如何作切线”“能作几条”的问题链导入，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于通过合作探究（折叠图形猜测关系）培养推理意识，归纳“连接圆心与切点、两切点、圆心与圆外点”的辅助线模型，结合典例精析与分层练习，发展学生几何直观与应用意识。学生能深化对定理的理解，教师可依托结构化内容提升教学效率。

2.5 直线与圆的位置关系 第2章 圆 2.5.3 切线长定理 优翼九下数学教学课件（XJ） 问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点 P 作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法(如右下图所示)！ 直径所对的圆周角是直角. 复习引入 P O O. P B A A B 导入新课 P 1. 切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量． 2. 切线长与切线的区别在哪里？ 切线长的定义 新课讲授 合作探究 B P O A 问题 在透明纸上画出下图，设 PA，PB 是圆 O 的两条切线，A、B 是切点，沿直线 OP 对折图形，你能猜测一下 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 分别有什么关系吗？ 切线长定理 PA = PB，∠APO = ∠BPO. B P O A 我们猜测过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.接下来我们验证这个猜测. 推导与验证 如图，连接 OA，OB. ∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点， ∴OA ⊥ PA，OB ⊥ PB 即∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP (HL). ∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB B P O A 切线长定理: 过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. PA、PB 分别切 ☉O于 A、B PA = PB ∠OPA = ∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新 的方法. 注意 要点归纳 B P O A 典例精析 例1 如图，AD 是 ⊙O 的直径，点 C 为 ⊙O 外一点，CA 和 CB 是 ⊙O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD. 求证：CO∥BD. 分析：连接 AB，因为 AD 为直径，那么∠ABD ＝ 90°.即 BD⊥AB.因此要证 CO∥BD，只要证 CO⊥AB 即可. 证明：连接 AB. ∵CA、CB 是 ⊙O 的切线，点 A、B 是切点， ∴CA＝CB，∠ACO ＝ ∠BCO. ∴CO⊥AB. ∵AD 是 ⊙O 的直径， ∴∠ABD ＝ 90°， 即BD⊥AB. ∴CO∥BD. 若连结两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 可以得到结论： OP 垂直平分 AB. A P O B M 拓展结论 （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； 方法归纳 例2 如图，菱形 ABCD 的边长为 10，圆 O 分别与 AB、AD 相切于 E、F 两点，且与 BG 相切于 G点．若 AO = 5，且圆 O 的半径为 3，则 BG 的长度为何？（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解析：连接 OE， ∵⊙O 与 AB相切于 E，∴∠AEO = 90°， ∵AO = 5，OE = 3， ∵AB = 10，∴BE = 6. ∵BG 与 ⊙O 相切于 G， ∴BG = BE = 6. 故选 C． 1. PA、PB 是 ☉O 的两条切线，A、B为切点，直线 OP 交 ☉O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC 相等的角； B P O A C E D ∠OAC = ∠OBC = ∠APC = ∠BPC. 当堂练习 △AOP ≌ △BOP， △AOC ≌ △BOC， △ACP ≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB （3）写出图中所有的全等三角形； B P O A C E D 20° 4 2. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ，则∠APO = ，PB= . B P O A 第2题 B P O A 3. PA、PB 是 ☉O 的两条切线，A，B 是切点，OA = 3. （1）若 AP = 4，则OP = ； （2）若∠BPA = 60°，则OP = . 5 6 4. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在 ⊙O 上，如果 ∠ACB ＝ 70°，那么 ∠OPA 的度数是_____度． 20 5. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点为 A、B， ∠P = 50°，点 C是 ⊙O 上异于 A、B 的点，则 ∠ACB = . 65°或115° B P O A 第5题 6. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出 AB ＝ 3 cm，则此光盘的直径是________cm. O P A B C E D 解析：连接OA、OB、OC、OD和OE. ∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点， ∴PA=PB=7. ∠PAO =∠PBO = 90°. ∠AOB=360°-∠PAO -∠PBO -∠P =140°. (1) △PDE的周长是 ； 7. 如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，在弧 AB 上任取一点 C，过点 C 作☉O 的切线，分别交PA、PB于点 D、E.已知 PA = 7，∠P = 40°.则 (2) ∠DOE= . ∵OA = OC，OD = OD， ∴△AOD ≌ △COD， ∴∠DOC = ∠DOA= ∠AOC. 同理可得∠COE = ∠COB. ∠DOE = ∠DOC+∠COE = (∠AOC+∠COB) = 70°. 又∵DC、DA 是 ☉O 的两条切线，点 C、A 是切点，∴DC = DA. 同理可得 CE = EB. l△PDE= PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE = PA+PB = 14. O P A B C E D 切线长 切线长定理 作用 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 内容 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点 之间的线段的长. 课堂小结 $