2.5.2 第1课时 切线的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“圆的切线判定”核心知识点，通过生活情境（转动雨伞的雨滴、砂轮火花方向）导入，衔接直线与圆的位置关系，以合作探究推导切线判定定理，构建从具体实例到抽象定理的学习支架。 其亮点在于情境化设计与分层训练结合，以数学眼光观察生活实例，通过动手画切线、典例变式培养数学思维（推理能力），总结“有交点连半径证垂直”等辅助线方法强化数学语言表达。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学流程与多样化训练素材。

2.5 直线和圆的位置关系 第2章 圆 第1课时 切线的判定 2.5.2 圆的切线 优翼九下数学教学课件（XJ） 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 导入新课 问题1 如图，OA 是⊙O的半径， 经过OA 的外端点 A， 作一条直线 l ⊥OA，圆心O 到直线 l 的距离是多少？ 直线 l 和⊙O 有怎样的位置关系？ 合作探究 l l 切线的判定 新课讲授 圆心 O 到直线l的 距离等于半径 OA. 由圆的切线定义可知直线 l 与圆 O 相切. l l 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. OA 为 ⊙O 的半径 BC ⊥ OA 于 A BC 为 ⊙O 的切线 A B C 切线的判定定理 应用格式 O 要点归纳 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ (1) 不是，因为没有垂直. (2)，(3) 不是，因为没有经过半径的外端点A. 判一判 注意 O. A O. A B A O (1) (2) (3) 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时， 我们说这条直线是圆的切线; 2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r )时，直线与圆相切； 3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 O O 用三角尺过圆上一点画圆的切线. 做一做 (2) 过点 P 沿着三角尺的另一条直角边画直线 l， 则 l 就是所要画的切线.如图所示. 如下图所示，已知⊙O 上一点 P，过点 P 画 ⊙O 的切线． 画法：(1) 连接 OP，将三角尺的直角顶点放在点 P 处， 并使一直角边与半径 OP 重合； 为什么画出来的直线l 是 ⊙O 的切线呢？ 例1 已知：如图所示，AD 是圆 O 的直径， 直线 BC 经过点 D，并且 AB = AC ，∠BAD =∠CAD.求证：直线 BC 是圆 O 的切线. D 典例精析 证明：因为 AB = AC，∠BAD = ∠CAD， 所以 AD ⊥ BC. 又因为 OD 是圆 O 的半径，且BC 经过点 D， 所以直线 BC 是圆 O 的切线. 例1变式 已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C ，并且 OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线. O B A C 证明：连接OC. ∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　 ∴ AB ⊥ OC. ∵ OC 是 ⊙O 的半径， ∴ AB 是 ⊙O 的切线. 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC， 只要证明AB⊥OC即可. 1.如图，△ABC 中，AB ＝ AC ，O 是 BC 中点，E 为⊙O 上一点，且OE ⊥ AB.求证：AC 是 ⊙O 的切线． B O C E A 针对训练 证明：连接 OA, 过O 作OF ⊥ AC. ∵△ABC 中，AB ＝ AC，O 是 BC 中点． ∴AO 平分 ∠BAC， F B O C E A ∴OE ＝ OF. ∵OE 是 ⊙O 半径， OF ＝ OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. (1) 证明：连接 OC，BC. ∵ ，∴∠DAC ＝ ∠BAC. ∵CD ⊥ AF，∴∠ADC ＝ 90°. ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝ 90°. ∴∠ACD ＝∠B. 2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 F、C 是 ⊙O 上的两 点，且 ，连接 AC、AF，过点 C 作 CD ⊥ AF 交 AF 的延长线于点 D. （1）求证：CD 是 ⊙O 的切线； ∵BO ＝ OC，∴∠OCB ＝ ∠OBC. ∵∠ACO＋∠OCB ＝ 90°，∠OCB ＝ ∠OBC， ∠ACD ＝ ∠ABC， ∴∠ACO＋∠ACD ＝ 90°， 即 OC ⊥ CD. 又∵OC 是 ⊙O 的半径， ∴ CD 是 ⊙O 的切线； (2) 解：∵ ， ∴∠DAC ＝ ∠BAC ＝ 30°. ∵CD ⊥ AF，CD＝ ， ∴AC ＝ . 在Rt△ABC 中，∠BAC ＝ 30°，AC ＝ ， ∴BC ＝ 4，AB ＝ 8. ∴⊙O 的半径为 4. (2) 若CD ＝ ，求 ⊙O 的半径． (1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”； (2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”. 方法归纳 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. ( ) (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) (3) 过直径的端点并且垂直于这条直径的直线是圆的 切线. ( ) (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( ) × × √ √ √ 导入新课 2. 如图所示，A 是 ☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13，AP = 12，则 PA 与 ☉O 的位置关系是 . A P O 相切 3. 如图，O 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，以O 为圆心，OA 的长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：CD 与 ⊙O 相切． 证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，∵⊙O 与 BC 相切于点 M，∴OM ⊥ BC. 又∵ON ⊥ CD，O 为正方形 ABCD 对角线AC 上一点， ∴OM ＝ ON， ∴CD 与 ⊙O 相切． 证明：连接 OP. ∵AB = AC，∴∠B = ∠C. ∵OB = OP，∴∠B = ∠OPB. ∴∠OPB = ∠C. ∴OP ∥ AC. ∵PE ⊥ AC， ∴PE ⊥ OP. ∴PE 为 ☉O 的切线. 4. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ☉O交边 BC 于 P， PE ⊥ AC 于 E. 求证: PE 是 ☉O 的切线. O A B C E P 5. 已知：△ABC 内接于 ☉O，过点 A 作直线 EF. (1) 如图1，AB 为直径，要使 EF 为 ☉O 的切线，还需 添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . (2) 如图2，AB 是非直径的弦，∠CAE = ∠B，求证： EF 是 ☉O 的切线. BA ⊥ EF ∠CAE = ∠B A F E O A F E O B C B C 图1 图2 证明：连接 AO 并延长交 ☉O 于 D，连接CD，则 AD 为 ☉O 的直径. ∴ ∠D+∠DAC = 90 °. ∵ ∠D 与∠B 同对 , ∴ ∠D = ∠B. 又∵ ∠CAE = ∠B, ∴ ∠D = ∠CAE. ∴ ∠DAC+∠EAC = 90°. ∴ EF 是 ☉O 的切线. A F E O B C 图2 D 6. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，CD⊥AB 于点 D．P 为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．（1）求证：CP 为 ⊙O 的切线； （1）证明：连接 OC，如图1， ∵OA = OC，∴∠BAC = ∠ACO，∴∠POC = 2∠BAC. ∵∠PCD = 2∠BAC，∠POC = 2∠BAC， ∴∠POC = ∠PCD. ∵CD ⊥ AB 于点 D，∴∠ODC = 90°． ∴∠POC+∠OCD = 90°． ∴∠PCD+∠OCD = 90°．∴∠OCP= 90°． ∴半径 OC ⊥ CP．∴CP 为 ⊙O 的切线． （2）若BP = 1，CP = ． ①求 ⊙O 的半径； （2）解：①设 ⊙O 的半径为 r． 在 Rt△OCP 中，OC2 + CP2 = OP2， ∵BP = 1，CP = ． ∴ r2 + ( )2 = ( r + 1 )2， 解得 r = 2． ∴⊙O 的半径为 2． ②∵∠OCP =∠ODC=90°，∠COD=∠POC， ∴△COP∽△DOC， ∴ ，即 ，∴CD= ， 如图，作点 O 点关于 AC 的对称点 E，连接 AE，EC，ED，ED 交AC于点M，此时OM+DM的值最小，为ED， ∵AC 垂直平分 OE， ∴AE = AO，∴∠OAC = ∠EAC， ②若 M 为 AC 上一动点，求 OM + DM 的最小值． ∵OA = OC， ∴∠OAC = ∠OCA，∴∠EAC = ∠OCA， ∴AE∥OC. ∵OA = AE = OC = 2， ∴四边形 AOCE 是菱形. ∴EC = 2，∠ECD = 90°. 在 Rt△ECD 中，EC = 2，CD= ， ∴ED2 = CE2 + CD2 = ． ∴OM + DM 的最小值为 ． 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d = r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课堂小结 $