2.4 过不共线三点作圆（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“过不共线三点作圆”核心内容，涵盖确定圆的条件、三角形外接圆及外心等知识点。通过旋转木马视频情境导入，以“还原破损圆形底座”问题切入，从过一点、两点作圆到探究不共线三点作圆，构建层层递进的学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动探究，结合视频素材和动手作图（如“练一练”中作圆步骤），培养数学眼光中的几何直观与创新意识。通过问题链推理（假设圆心位置到得出结论）发展数学思维中的推理能力，以居民小区建中学等实例强化数学语言的模型意识。小结系统梳理知识，助力学生构建知识网络，教师可直接使用多样化素材提升教学效率。

2.4 过不共线三点作圆 第2章 圆 优翼九下数学教学课件（XJ） 仔细观看旋转木马视频. 点击视频 开始播放 → 情境引入 导入新课 情境引入 假如旋转木马真如短片所说，是中国发明的，你能将旋转木马破碎的圆形底座还原，以帮助考古学家画进行深入的研究吗？ 要确定一个圆必须满足几个条件? 想一想 问题1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？ 合作探究 · · · · · 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆. A 探索确定圆的条件 新课讲授 问题2 如何过两点 A、B 作一个圆？过两点可以作多少个圆？ · · · · A B 作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A 或 B 的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆. N M F E O A B C 问题3 经过不在同一直线上的三个已知点 A，B，C 能作圆吗？ 假设经过 A、B、C 三点的 ⊙O 存在 (1)圆心 O 到 A、B、C 三点距离 . (填“相等”或”不相等”). (2)如果 O 点到 A、B 的距离相等，则点 O 应在线段 AB 的__________上，同理点 O 也应在线段 AC 的__________上. (3)点 O 应是线段 AB、AC 的____________交点，半径为 OA 的长，所以_____作圆. 相等 垂直平分线 垂直平分线 垂直平分线 能 已知：不在同一直线上的三点 A、B、C. 求作： ⊙O，使它经过点 A、B、C. 作法：1、连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线 MN； 2、连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 EF，交 MN 于点O； 3、以 O 为圆心，OB 为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆. O N M F E A B C 练一练 A B C 问题4 过同一直线上三点能不能做圆? 不能. 知识要点 经过不在同一直线上的三点可以作一个圆而且只能作一个圆. 问题5 现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ A B C O 方法: 1. 在圆弧上任取三点 A、B、C； 2. 作线段 AB、BC 的垂直平分 线，其交点 O 即为圆心； 3. 以点 O 为圆心，OC 长为半径 作圆. ⊙O 即为所求. 1. 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为 A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等. 请问同学们, 这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？ ● ● ● B A C 针对训练 解：(1)这样的圆能画 2 个． 如图1：作 AB 的垂直平分线 l， 再以点 A 为圆心， 3 cm 为半径作圆交 l 于 O1 和 O2， 然后分别以 O1 和 O2 为圆心， 以 3 cm 为半径作圆，则⊙O1 和⊙O2 为所求； 2. 已知 AB = 4 cm，作半径为 3 cm 的圆，使它经过 A、B 两点，这样的圆能作多少个？如果半径为 2 cm 呢？ (2)这样的圆能画 1 个． 如图 2 ： 作 AB 的垂直平分线 l ，交AB于 O 点， 然后以 O 为圆心， 以 2 cm 为半径作圆， 则 ⊙O 为所求. 问题6 经过三角形的三个顶点能作一个圆吗？为什么？ 由于△ABC 的顶点不在同一直线上，因此过这三个 顶点可以作一个圆，并且只可以作一个圆. 三角形的外接圆及圆心的相关计算 1. 外接圆 经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆.☉O 叫做△ABC 的________， 这个三角形叫作这个圆的内接三角形，△ABC 叫做☉O 的____________. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 2. 三角形的外心： 定义： ●O A B C 外接圆　 内接三角形　 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三条边的垂直平分线的交点. 性质： 概念学习 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 画一画 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外. 要点归纳 下列说法是否正确. (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆.( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形.( ). (3) 经过三点一定可以确定一个圆.( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( ) √ × × √ 练一练 例1 小颖同学在手工制作中，把一个边长为 12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（　　） 典例精析 A. cm B. cm C. cm D. cm 解析：过点 A 作 BC 边上的垂线交 BC 于点 D，过点B 作 AC 边上的垂线交 AD 于点 O，则 O 为圆心． 设 ⊙O 的半径为 R，由等边三角形的性质知：∠OBC = 30°，OB = R． ∴BD= cos∠OBC×OB= . BC = 2BD = ． ∵BC = 12，∴R= ．故选B． 1. 如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法? A B C O 当堂练习 2. 判断： （1）经过三点一定可以作圆. （ ） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的 交点. （ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等. （ ） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 . （ ） √ × × × 3. 三角形的外心具有的性质是（ ） A. 到三边的距离相等. B. 到三个顶点的距离相等. C. 外心在三角形的外. D. 外心在三角形内. B 4. 正方形的四个顶点和它的中心共 5 个点能确定______个不同的圆． 5 5. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A、B、C，其中，B点坐标为 (4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为__________. (2，0) 6. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ∠OAB ＝ 20°，则∠C 的度数是________． 70° 7. 已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则它的外接圆半径 = . 5 7题变式题 若一个直角三角形的两边分别为 6 和 8 ，则这个直角三角形外接圆直径是 (　　) A．8 B．10 C．5或4 D．10或8 D 3. 锐角三角形 直角三角形 --外心的位置-- 钝角三角形 1.作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 一个三角形的外接圆是唯一的. 2. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆； 外接圆的圆心叫三角形的外心； 这个三角形叫做圆的内接三角形. 在斜边的中点 在三角形的内部 在三角形的外部 课堂小结 Lavf56.15.102 $