2.3 垂径定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“垂径定理”，通过问题导入（圆的轴对称性）和赵州桥实际问题，衔接圆的基本性质与定理探究，以“做一做”折叠实验和证明推导为支架，引导学生从直观感知到逻辑论证构建知识体系。 其亮点在于以“探究—证明—应用”为主线，通过折叠实验培养几何直观（数学眼光），结合赵州桥问题抽象数学模型（数学语言），例题分层设计强化推理意识（数学思维）。学生在实践中深化理解，教师可借助结构化内容提升教学效率，落实核心素养。

2.3 垂径定理 第 2 章 圆 优翼九下数学教学课件（XJ） 问题引入 问题1 圆是轴对称图形吗？ 问题2 它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆是轴对称图形 其对称轴是直径所在的直线 无数条 导入新课 问题3：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB，垂足为 P，再将纸片沿着直径 CD 对折，比较 AP 与 PB， 与 ，你能发现什么结论？ · O A B D P 互动探究 C 垂径定理及其推论 新课讲授 线段: AP = BP · O A B D P C 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ 弧: ， 理由如下： 把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与 BP 重合， 和 , 与 重合． · O A B D C P 已知：在☉O中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD，垂足为 P. 求证：AP = BP， ， . 证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA = OB. 即△AOB 是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP = BP， ∠AOC = ∠BOC. 从而 ∠AOD = ∠BOD. 试一试 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD 是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP = BP， ， (结论) 归纳总结 推导格式： 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O E A B D C O E A B O C D E O A B C 议一议 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C A B O D C 例1 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图，⊙O 中弦 AB∥CD， 求证： ＝ . M C D A B O N 典例精析 证明：作直径 MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则 （垂直弦的直径平分弦所对的弧） ∴ 例2 如图，⊙O 的弦 AB ＝ 8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC ＝ 2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA，∵ CE⊥AB 于D， ∴ 设 OC = x cm，则 OD = x - 2， 根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x - 2)2， 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ① 过圆心 ；② 垂直于弦； ③ 平分弦； ④ 平分弦所对的优弧 ； ⑤ 平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索： 已知：在☉O中，CD 是直径，AB 是弦(不是直径)，与 CD 交于点 P，且 P 是 AB 的中点. 求证：AB⊥CD， · O A B D C P 试一试 证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA=OB. 即 △AOB 是等腰三角形. ∵P 是 AB 的中点， ∴AB⊥CD. 即AP = BP， ∵ CD 是直径，CD⊥AB， ∴ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 特别说明： 垂径定理的本质是: 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧 例3 如图，在 ⊙O 中，点 C 是弧 AB 的中点，弦 AB 与半径 OC 相交于点 D，AB=12，CD=2．求的⊙O半径． 解：连接 AO， ∵点 C 是 AB 的中点，半径 OC 与 AB 相交于点 D， ∴OC⊥AB. ∵AB = 12，∴AD = BD = 6. 设⊙O 的半径为 R，∵CD = 2， ∴在 Rt△AOD 中，由勾股定理得： AO2 = OD2 + AD2， 即：R2 = (R - 2)2 + 62，∴R=10. 即，⊙O的半径为 10． 你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗? 试一试 垂径定理的实际应用 A B O C D 解：如图，用 AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为 D，与弧 AB 交于点 C，则 D是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高. ∴AB = 37 m，CD = 7.23 m. ∴ AD= AB = 18.5 m，OD = OC - CD = R - 7.23 . 解得R ≈ 27.3 (m). 即主桥拱半径约为 27.3 m. R2 = 18.52 + ( R - 7.23 )2 ∵ 在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h = r O A B C · 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. C D C B O A D O A B 图a 图b 2 cm或12 cm 练一练 解：由题意得，AB = 6 m，OE⊥AB于F， ∴AF = AB = 3 m. ∵设 AB 所在圆O的半径为 r，且 EF = 2 m， ∴AO = r，OF = r - 2. 在 Rt△AOF 中，由勾股定理可知：AO 2 = AF 2 + OF 2， 即 r2 = 32 + ( r - 2 )2 解得 r = m． 即 AB 所在圆 O 的半径为 m． 例4 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB = 6 m，弓形的高 EF = 2 m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧 AB 所在圆 O 的半径． 典例精析 1.如图，OE⊥AB 于 E，若 ☉O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = cm. 16 O A B E · 当堂练习 2. 如图，在 ⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证四边形 ADOE 是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又∵AC=AB， ∴ AE=AD. ∴四边形ADOE为正方形. 3. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？ 理由：过 O 作OE⊥AB，垂足为 E， 则AE ＝ BE，CE ＝ DE. ∴ AE－CE ＝ BE－DE 即 AC ＝ BD. O . A C D B E 解：AC = BD 5.（分类讨论题）已知 ☉O 的半径为 10 cm，弦MN∥EF,且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和弦 EF 之间的距离为 . 14 cm 或 2 cm 4. 如图，在 △ABC 中，已知 ∠ACB = 130°，∠BAC = 20°，BC = 2，以点 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB于点 D，则 BD 的长为_______． 6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径. 解:连接 OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为 R m,则 OF = (R-90)m. 根据勾股定理，得 解得 R = 545. ∴这段弯路的半径约为 545 m. 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:① 过圆心；② 垂直于弦； ③ 平分弦（不是直径）; ④ 平分弦所对的优弧;⑤ 平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）. 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 $