2.2.2 第2课时 圆周角定理的推论2与圆内接四边形（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦圆周角定理推论2（直径对直角、直角对直径）及圆内接四边形性质，以“圆形笑脸确定圆心”情境导入，通过三角板操作引导学生从具体问题到抽象定理，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，情境导入培养几何直观，证明推理发展逻辑思维，例题练习强化应用意识。如用三角板确定圆心、证明对角互补等实例，助力学生提升探究能力，也为教师提供清晰教学路径。

2.2 圆心角、圆周角 第2章 圆 第2课时 圆周角定理的推论2 与圆内接四边形 2.2.2 圆周角 优翼九下数学教学课件（XJ） 情境引入 如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？ 导入新课 D1 D2 问题1 如图，AC 是圆 O 的直径，那么 ∠D，∠D1，∠D2 的度数分别是多少呢？ 这三个角所对弧上的圆心角是 ∠AOC，而 ∠AOC = 180°， 利用圆周角定理，∠D = ∠D1 = ∠D2 = 90°. 问题2 如图，若已知 ∠D =90°，它所对的弦 AC 是直径吗？ 是的. 圆周角定理的推论 2 新课讲授 要点归纳 圆周角定理的推论2 直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是直径. 问题3 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？ 利用三角板在圆中画出两个 90° 的圆周角，这样就得到 两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心. 典例精析 例1 如图，AC 是圆 O 的直径，∠CAD = 60°，点 B 在 圆 O 上，求 ∠ABD 的度数. B 解：∵AC 为直径， ∴∠ADC = 90°. 又∠DAC = 60°， ∴∠C = 30°. 又∵∠ABD 和 ∠C 都是弧AB所对的圆周角， ∴∠ABD =∠C = 30°. 例2：如图，⊙O 的直径 AC 为 10 cm，弦 AD 为 6 cm. （1）求 DC 的长； （2）若∠ADC的平分线交 ⊙O 于 B， 求 AB、BC 的长． B 解：(1)∵AC 是直径， ∴ ∠ADC = 90°. 在Rt△ADC中， B 在 Rt△ABC 中，AB2+BC2 = AC2， (2)∵ AC 是直径，∴ ∠ABC = 90°. ∵BD 平分 ∠ADC，∴∠ADB =∠CDB. 又∵∠ACB =∠ADB ，∠BAC =∠BDC . ∴ ∠BAC =∠ACB. ∴AB = BC. 概念学习 如图，A，B，C，D 是圆 O 上的四点，顺次连接 A，B，C，D 四点，得到四边形 ABCD，我们把四边形 ABCD 称为圆内接四边形. 这个圆叫作这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的性质 如图，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接四边形，☉O为四边形 ABCD 的外接圆. (2) 当 ABCD 为一般四边形时， 猜想：∠A 与∠C, ∠B 与∠D 之间的关系为 . ∠A+∠C = 180º，∠B+∠D = 180º 性质探究 (1) 当 ABCD 为矩形时，∠A 与∠C， ∠B 与∠D 之间的关系为 . ∠A+∠C = 180º，∠B+∠D = 180º 试一试 证明：圆内接四边形的对角互补. 已知，如图，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接四边形，☉O 为四边形 ABCD 的外接圆. 求证 ∠BAD +∠BCD = 180°. 证明：连接 OB、OD. 根据圆周角定理，可知 1 2 由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180° 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的性质 要点归纳 O A B C D 典例精析 例3 如图，ABCD 是圆 O 的内接四边形，已知 ∠BOD = 100°，求 ∠BAD 及 ∠BCD 的度数. 解：∵圆心角 ∠BOD 与圆周角 ∠BAD 所对的弧为弧 BD，∠BOD ＝ 100°， ∵∠BCD+∠BAD = 180°， ∴∠BCD = 180°-∠BAD = 180°-50°= 130°. ∴∠BAD = ∠BOD= 100°= 50°. 例4 已知 △ABC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC 于D，BC 于E，连接 ED，若 ED = EC． （1）求证：AB = AC； （1）证明：∵ED = EC， ∴∠EDC =∠C. ∵∠EDC =∠B， ∴∠B =∠C. ∴AB =AC； （2）若 AB = 4，BC = ，求 CD 的长． 解：连接 AE，∵AB 为直径，∴AE⊥BC， 由（1）知 AB = AC， ∴BE = CE = . ∵∠CDE = ∠B，∠C = ∠C， ∴△CDE ∽△CBA，∴ . ∴CE•CB = CD•CA，AC = AB = 4， ∴ = 4CD，∴CD = ． 1．四边形 ABCD 是 ☉O 的内接四边形，且∠A=110°，∠B = 80°，则∠C = ，∠D = . 2．☉O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 ，则∠D = . 70° 100° 90° 当堂练习 3. 如图，∠A = 50°， ∠ABC = 60°，BD是 ⊙O 的直径，则∠AEB 等于 ( ) A. 70° B. 110° C. 90° D. 120° B A C B O D E 4. 如图，C、D 是以线段 AB 为直径的⊙O上两点，若 CA = CD，且 ∠ACD = 40°，则 ∠CAB = (　　) A．10° B．20° C．30° D．40° B 5. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB = BC，∠ABC = 120°，AD 为⊙O 的直径，AD = 6，那么 AB 的值为 (　　) A．3 B． C． D．2 A 6. 在 ⊙O 中，∠CBD = 30°，∠BDC = 20°，求 ∠A. O A B D C 解：∵∠CBD = 30°，∠BDC = 20° ∴∠C= 180° -∠CBD -∠BDC =130° ∴∠A = 180° -∠C = 50° (圆内接四边形对角互补) 变式：已知 ∠OAB 等于 40°，求 ∠C 的度数. A B C O D 7.如图，在 △ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的圆交 BC 于 D，交 AC 于 E， (1) BD 与 CD 的大小有什么关系? 为什么? (2) 求证： . A B C D E ∵AB 是圆的直径，点 D 在圆上， ∴∠ADB =90°， ∴AD⊥BC， ∵AB = AC，∴BD = CD. (2) 由（1）可知 AD 平分顶角∠BAC，即∠BAD = ∠CAD， 解:(1) BD = CD. 理由是：连接 AD， 2. 圆内接四边形的性质定理： 圆的内接四边形的对角互补. 1. 圆周角定理的推论2： 直径所所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径. 课堂小结 $