2.2.2 第1课时 圆周角定理与推论1（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦“圆周角”核心内容，涵盖定义、定理及推论1。通过射门情境导入，引导学生观察角的顶点与圆的位置关系，从圆心角自然过渡到圆周角，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动探究，通过合作测量、分类验证（圆心与圆周角三种位置关系）培养推理意识，结合典例与分层练习强化应用。既发展学生几何直观与创新意识，又为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

2.2 圆心角、圆周角 第2章 圆 第1课时 圆周角定理与推论1 2.2.2 圆周角 优翼九下数学教学课件（XJ） 在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AC 的张角( ∠ABC )有关. 问题图中的∠ABC、∠ADC 和 ∠AEC 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ A B C D E 情境引入 导入新课 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作 圆周角. (如 ∠BAC ) 概念学习 我们把∠BAC叫作 所对圆周角， 叫作圆周角∠BAC所对的弧. 圆周角的定义 新课讲授 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 练一练：下列各图中的∠BAC 是否为圆周角,并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ （4） 顶点不在圆上 A B C D E 图中的∠ABC、∠ADC 和∠AEC 都是 所对的圆周角，我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么图中的三个圆周角有什么关系？ 圆周角定理 为了弄清楚这三个角的关系，我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系. 我们猜测也相等 A B C D E 问题1 如图，点 A、B、C 是 ☉O 上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角? 合作探究 圆心角：∠BOC 圆周角：∠BAC 问题2 分别量出这些角的度 数，你有什么发现？ ∠BOC = 2∠BAC 问题3 变动点 A 的位置，看看上述结论是否依然成立？ A A A 变动点 A 的位置，圆周角的度数没有变化，它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半. 推导与验证 已知：在圆 O 中，弧 BC 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是 ∠BOC. 求证：∠BAC = ∠BOC. 圆心 O 在∠BAC 的内部 圆心 O 在 ∠BAC 的一边上 圆心 O 在 ∠BAC 的外部 圆心 O 与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论. 圆心 O 在∠BAC 的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C O A B D O A C D O A B C D 圆心 O 在∠BAC 的内部 O A C D O A B D O A B D O C A D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 圆心 O 在∠BAC 的外部 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 圆周角定理 知识要点 · · · 100° A O 20° O 90° A B A B B C C (1) (2) (3) 求 ∠AOB 求 ∠AOB 求 ∠A 练一练 1. 例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 50°， ∠BOC=70°.求 ∠ACB 和 ∠BAC 度数. B C O . 70° A ∴∠ACB = ∠AOB = 25°. 同理 ∠BAC = ∠BOC = 35°. 典例精析 解：∵圆心角 ∠AOB 与圆周角 ∠ACB 所对的弧为 , 例2 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C、D、E 是 ⊙O 上的点，则 ∠1+∠2 等于（　　） A．90° B．45° C．180° D．60° A 例3 如图，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交圆 O 于点 F，则 ∠BAF 等于（　　） A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° 解析：连接 OB ， ∵四边形 ABCO 是平行四边形， ∴OC = AB，又 OA = OB = OC， ∴OA = OB = AB. ∴△AOB 为等边三角形. ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB， ∴∠BOF = ∠AOF =30°， 由圆周角定理得 ∠BAF = ∠BOF=15°. 故选：B． 问题4 回归到课堂初始探讨的问题中，∠A、∠A1、∠A2 和 ∠A3 都是弧 BC 所对的圆周角，那么他们相等吗？ 因为∠A、∠A1、∠A2 和 ∠A3所对弧上的圆心角均为 ∠BOC，由圆周角定理可知 ∠A = ∠A1 = ∠A2 = ∠A3. A1 A2 A3 圆周角定理的推论 1 要点归纳 圆周角定理的推论1 在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. (1)完成下列填空： ∠1 = . ∠2 = . ∠3 = . ∠5 = . 如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，AC、BD 为四边形 ABCD 的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O 1 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 练一练 例4 如图，⊙O中，弦 AB 与 CD 交于点 M，∠A= 45°，∠AMD = 75°，则∠B 的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° C 典例精析 1. 判断下列各图形中的角是不是圆周角. 图1 图2 图3 图4 图5 2. 指出图中的圆周角. A O B C ∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABC × × √ × × 课后作业 3. 如图，点 B，C在⊙O上，且 BO = BC，则圆周角∠BAC等于( ) D A.60° B.50° C.40° D.30° 4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于(　　) A．25° B．30° C．35° D．50° A 5. 如图，在⊙O中，弧AB = 弧AC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是(　　) A．50° B．40° C．30° D．25° D 6. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠AOD 是圆心角， ∠BCD是圆周角，若 ∠BCD = 25°，则 ∠AOD = . 130° 7. 如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB = ，∠ADB = . 130° 50° D A O C B 图6 图7 8. 如图，在 ⊙O 中，弧 AB = 弧 CD，∠DCB = 28°，则∠ABC = _____°． 28 9. 如图，分别求出图中∠x 的大小. 解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x = 60°. (2)连接BF， ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°. ∴∠x =∠ABF+∠FBC = 50°. F 60° x 30° 20° x A D B E C 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推论1 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 同弧(或等弧)所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等 1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角 课堂小结 $