1.5 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数与利润问题及几何面积最值，通过卖咖啡视频情境导入，从商品定价等实际问题出发，结合典例（如玩具销售利润、矩形窗框面积）引导学生建立函数模型，搭建从生活到数学的学习支架。 其亮点在于情境化设计激发数学眼光，通过典例与变式（如篱笆围矩形不同墙长问题）培养推理能力，知识要点总结步骤强化模型意识。帮助学生用数学语言解决实际问题，提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

1.5 二次函数的应用 第1章 二次函数 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题 优翼九下数学教学课件（XJ） 情境引入 短片中，卖咖啡的卖家使出浑身解数来赚钱. 点击视频 开始播放 → 导入新课 情境引入 商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？ 例1 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元出售，那么一个月内售出 180 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 典例精析 二次函数与利润最大问题 新课讲授 ① 每件商品的销售单价上涨 x 元，一个月内获取的商品总利润为 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每月利润(元) 正常销售 涨价销售 10 180 10 + x 180 -10x y = (10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式 y = (10+x)(180 -10x)， 即：y = -10x2 + 80x + 1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 180 -10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960. 当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时，y 取最大值 1960 元. 答：当销售单价为 34 元时，该店在一个月内能获得最 大利润 1960 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或 “总利润=单件利润×销售量” (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出 函数图象的简图，利用简图和性质求解. 例2 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次.第1 档次(最低档次)的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 解：设生产 x 档次的产品时，每天所获得的利润为 w 元， 则 w = [12+2(x－1)][80－4(x－1)] = (10+2x)(84－4x) = －8x2 + 128x + 840 = －8(x－8)2 + 1352. 因为 x ≤ 9，故当 x = 8 时，w 有最大值，且w最大 = 1352. 答：该工艺师生产第 8 档次产品，可使利润最大， 最大利润为 1352 元. 二次函数与几何面积 例3 用长为 8 m 的铝材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 S (m2) 最大？最大透光面积是多少？(铝材宽度不计) x 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m. 这里应有 x ＞ 0， 故 0 ＜ x ＜ . 矩形窗框的透光面积 S 与 x 之间的函数关系式是： 即 配方得 所以，当 x = 时，函数取得最大值，最大值 S = . 因此，所做矩形窗框的宽为 m、高为 2 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 m2. x = 满足 0 ＜ x ＜ ，这时 知识要点 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值; 3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是 否在自变量的取值范围内. 例4 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长 l 的变化而变化.当 l 是多少时，场地的面积 S 最大？ 解:根据题意得 S = l (30 - l )， 即 S = -l 2 + 30l ( 0 ＜ l ＜ 30 ). 因此，当 时，S 有最大值， 此时， 也就是说，当 l = 15 m 时，场地的面积 S 最大. 变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 问题2 我们可以设面积为 S ，如何设自变量？ 问题3 面积 S 与 x 的函数关系式是什么？ 问题1 变式1与例题有什么不同？ S ＝ x (60－2x) ＝ －2x2＋60x. 设垂直于墙的边长为 x m 问题4 如何求解自变量 x 的取值范围？墙长 32 m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当 x =15 m 时，S = 450 m2. 0 ＜ 60－2x ≤ 32，即14 ≤ x ＜ 30. 设矩形面积为 S，与墙平行的一边为 x m， 则 变式2 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x 问题1 变式 2 与变式 1 有什么异同？ 问题2 可否模仿变式 1 设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边为 x 米？则如何表示 另一边与面积？ 问题4 当 x = 30 时，S 取最大值，此结论是否正确？ 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤ 18. 问题6 如何求最值？ 由于30 ＞ 18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x = 18 时，S 有最大值是 378 m2. 不正确. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围而定.通过变式 1 与变式 2 的对比，理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 方法归纳 1. 用一段长为 15 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18 m，这个矩形菜园的最大面积是 ______. 2. 某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20 ≤ x ≤ 30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 当堂练习 3. 进价为 80 元的某衬衣定价为 100 元时，每月可卖出2000 件，价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出衬衣的总件数 y (件)与衬衣售价 x (元)之间的函数关系式为 .每月利润 w (元)与衬衣售价 x (元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简). y = 2000 - 5(x -100) w = [2000 - 5(x - 100)](x - 80) 4. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B以 2 cm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 以 4 cm/s 的速度移动(不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从A、B 同时出发，那么经过 s，四边形 APQC 的面积最小. 3 A B C P Q 图1 5. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m)，面积为 S (m2). (1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值 范围； 解：(1) 因为矩形一边长为 x，则另一边长为(6 - x)， ∴S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0 ＜ x ＜ 6. (2) S = - x2 + 6x = - ( x - 3 )2 + 9; ∴当 x = 3 时，即矩形的一边长为 3 m 时， 矩形面积最大，为 9 m2. 这时设计费最多，为 9×1000 = 9000 (元) (2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出 这个费用. 6. 某种商品每天的销售利润 y (元)与销售单价 x (元)之间满足关系：y = ax2 + bx - 75. 其图象如图. (1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1) 由题中条件可求 y = -x2 + 20x -75 ∵-1＜0，对称轴 x = 10， ∴当 x = 10时，y 值最大，最大值为 25. 即销售单价定为 10 元时，销售利润最 大，为 25 元. 7 x y 5 16 O (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润 不低于 16 元？ (2) 由对称性知 y =16 时，x = 7 和 13. 故销售单价在 7 ≤ x ≤13时，利润不低于 16 元. 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出. 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 Lavf56.15.102 $