1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²（a<0）的图象与性质，通过复习y=1/2x²的画法，引导学生发现y=-1/2x²与前者关于x轴对称，搭建从a>0到a<0的知识支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于以合作探究（如对称点坐标分析）培养推理意识，通过典例（求二次函数中m值）和练习提升抽象能力与几何直观，用对比表格系统总结a>0与a<0的性质，助力学生用数学语言表达规律。学生能深化对函数性质的理解，教师可高效开展教学。

1.2 二次函数的图象与性质 第1章 二次函数 第2课时 二次函数 y = ax2 (a<0)的图象与性质 优翼九下数学教学课件（XJ） 复习引入 列表； 描点； 连线. 你还记得如何画 的图象吗？ x 0 1 2 3 4 0 8 4.5 2 0.5 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 导入新课 我们已经画出了 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？ 合作探究 抛物线 y = ax2 (a<0) 的图象 新课讲授 1. 在 的图象上任取一点 P( )， 它关于 x 轴的对称点 Q 的坐标是 ( ). 2. 点 Q 的坐标是否在 的图象上？ y x O P Q 3. 由此推测 的图象与 的图象是否关于 x 轴对称？ 在 是关于 x 轴对称. 4. 你怎样得到 的图象？ 因此只要把 的图象沿着x 轴翻折将图象“复制”出来，就得到 的图象. y x O P Q 例1 函数 y =﹣a（x+a）与 y =﹣ax2（a ≠ 0）在同一坐标系上的图象是（　　） 典例精析 A． B． C． D． 解析：函数 y =﹣a(x+a) =﹣ax﹣a2 的常数项﹣a2 一定小于零，函数 y=﹣a(x+a) 与 y 轴一定相交于负轴．故选D． B. 由一次函数的图象可知 a ＜ 0，由二次函数的图象可知 a ＞ 0，两者相矛盾； C. 由一次函数的图象可知 a ＞ 0，由二次函数的图象可知 a ＜ 0，两者相矛盾； A． B． C． D． 说说二次函数 的图象有哪些性质，与同伴交流. o x y 1. 是一条曲线； 2. 图象开口向下； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 与对称轴的交点为( 0 ，0 )； 5. “左升”，“右降”； 6. x = 0 时，函数值最大，且为 0. 议一议 抛物线 y = ax2 ( a ＜ 0 )的性质 解：（1）根据题意得 m－3 ≠ 0 且 m2－2m－6 = 2， 解得 m1 = －2，m2 = 4． 所以满足条件的 m 的值为－2 或 4； （2）∵当 m－3 ＞ 0 时，图象有最低点， ∴ m = 4，此时二次函数的解析式为 y = x2， ∴当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大. 例2 已知函数 是关于 x 的二次函数． （1）求满足条件的 m 的值； （2）当 m 为何值时，它的图象有最低点？此时当 x 为 何值时，y 随 x 的增大而增大？ （3）∵当 m－3 ＜ 0 时，图象有最高点， ∴ m = －2，此时二次函数的解析式为 y = －5x2， ∴当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而减小． （3）当 m 为何值时，它的图象有最高点？此时当x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ 问题1 画二次函数 的图象. x 0 1 2 3 4 0 －1 －4 列表 合作探究 描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利用对称性画出 y 轴左边的部分. 这样我们得到了 的图象，如图. y －2 －4 2 4 －2 －4 x o 问题2 观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？ 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线 x O y －2 －4 2 4 －2 －4 以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上， 则可以看出铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段. x O y -2 －-4 2 4 -2 -4 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 受此启发，把 二次函数 y= ax2 的 图象这样的曲线 叫做抛物线. 归纳总结 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴，增减性相同. 不同点：a 越小，即 |a| 越大，抛物线的开口越小． 问题3 在同一坐标系中，画出函数 y = -x2, y = -2x2, 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点． 对于二次函数 y = ax2,|a| 越大，抛物线的开口越小. 系数 a 对图象的影响 1. 下列函数中，当 x ＞ 0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A. y = B. y = x - 1 C. D. y= -3x2 D 2. 抛物线 y ＝ －4x2 不具有的性质是 (　　) A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大 D．最高点是原点 A 当堂练习 3. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ， 对称轴 ，顶点是 ； 在对称轴的左侧， y随x的增大而 ， 在对称轴的右侧， y随x的增大而 . 向下 y轴 (0,0) 减小 增大 y O x 4. 当 ab > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 与直线 y ＝ ax ＋ b在同一直角坐标系中的图象大致是 (　　) 解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D. D 5. 如图，四个二次函数图象中，分别对应：① y ＝ax2；② y ＝ bx2；③ y ＝ cx2；④ y ＝ dx2，则 a、b、c、d 的大小关系为(　　) A．a > b > c > d B．a > b > d > c C．b > a > c > d D．b > a > d >c 解析：∵抛物线 y ＝ ax2中，|a| 越大，抛物线的开口越小. ∴a > b > 0，|d| > |c| > 0， ∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d． A y ＝ ax2 a > 0 a < 0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上 开口向下 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 课堂小结 $