1.5 第1课时 抛物线形二次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，以“抛物线形问题”为核心，通过播放白娘子许仙西湖断桥相遇视频导入，衔接拱桥纵截面抛物线问题，引导学生建立直角坐标系和二次函数模型，搭建从实际情境到数学建模的学习支架。 其亮点在于以生活化情境培养数学眼光，通过拱桥、喷水池水流、投篮运动等实例，引导学生用数学思维建立坐标系转化问题，用二次函数模型表达现实世界。课堂小结强调“转化与回归”，帮助学生形成解决问题的步骤，提升应用意识，也为教师提供了完整的教学流程和丰富实例，助力高效教学。

1.5 二次函数的应用 第1章 二次函数 第1课时 抛物线形二次函数 优翼九下数学教学课件（XJ） 情景引入 观看白娘子许仙西湖断桥相遇视频. 点击视频 开始播放 → 导入新课 情景引入 白娘子初见许仙是在西湖断桥，现在有一座类似的拱桥，它的纵截面是抛物线的一部分，跨度是 4.9 m，当水面宽是 4 m 时，拱顶离水面 2 m．现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能想出办法来吗？ 探究 拱桥问题 新课讲授 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 已知水面宽 4 m 时， 拱顶离水面高 2 米， 因此点 A( 2，-2)在抛物线上，由此得出 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定 a 是多少？ 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是： 水面宽 3 m 时， 从而 因此拱顶离水面高 1.125 m. 现在你能求出水面宽 3 m时，拱顶离水面高多少吗？ 知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？ 典例精析 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A 点坐标为( 0，1.25 )，顶点 B 坐标为( 1，2.25 ). 数学化 ● B( 1 , 2.25) (0,1.25) ● C ● D o A x y 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为(2.5，0) ； 同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) . 设抛物线为 y = a( x + h )2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y =－ ( x - 1)2 + 2.25. ●B(1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 运动中的抛物线及其他实物型抛物线问题 例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4 m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m，如果篮圈中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ 典例精析 解：如图，建立直角坐标系. 则点 A 的坐标是( 1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B ( 0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 解得 a = －0.2， k = 3.5， 设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = a(x - 0)2 +k ， 即 y = ax2 + k.而点 A，B 在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为 y =－0.2x2 + 3.5. 当 x = －2.5时，y = 2.25 . 故该运动员出手时的高度为 2.25 m. 2.25a+k = 3.05， k=3.5， x y O 1. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h ( m )可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t ( s ) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地. 4 2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y (米)关于水平距离 x (米)的函数解析为 ，那么铅球运动过程中： 最高点离地面的距离为 米. x y O 2 当堂练习 3. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 2 m时，这时水面宽度 AB 为(　　 ) A. -10 m B. m C. m D. m D 4. 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为 12 m，抛物线拱高为 5.6 m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式． 解：(1) 设抛物线的表达式为 y = ax2 . ∵点 B (6，﹣5.6) 在抛物线的图象上， ∴﹣5.6 = 36 a， ∴抛物线的表达式为 (2) 现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5 m，高 1.6 m，相邻窗户之间的间距均为 0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为 0.8 m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？        （2）设窗户上边所在直线交抛物线于 C，D 两点，D 点坐标为 (k，t)，已知窗户高 1.6 m， ∴ t = -5.6﹣(﹣1.6)=﹣4 ∴                  ， 解得 k =            ，即 k1 ≈ 5.07，k2 ≈ ﹣5.07 ∴CD = 5.07×2 ≈ 10.14 ( m ) 设最多可安装 n 扇窗户， ∴1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2 ≤10.14， 解得 n ≤ 4.06．则最大的正整数为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户. 5. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为( 0，0.5)， 对称轴为 y 轴，设抛物线的函数表达式为 y = ax2 +0.5. 抛物线经过点(450，81.5)，代入上式，得 81.5 = a•4502 + 0.5 . 解得 故所求表达式为 (1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 (2) 计算距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长. y x O -450 450 解：当 x = 450－100 = 350 ( m )时，得 当x=450－50=400（m）时，得 实际问题 数学模型 转化 回归 (二次函数的图象和性质) 拱桥问题 运动中的抛物线问题 (实物型抛物线问题) 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 课堂小结 Lavf56.15.102 $