1.4 二次函数与一元二次方程的联系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过复习一次函数与一元一次方程的关系导入，以“函数图象交点与方程根”为支架，引导学生迁移理解二次函数与x轴交点的横坐标即对应一元二次方程的根。 其亮点在于通过探究活动（画图象、填表格）培养几何直观（数学眼光），典例分析（如用判别式求参数范围）发展推理能力（数学思维），实际问题（铅球运动、投篮）强化模型意识（数学语言）。小结系统梳理知识，学生提升直观理解与应用能力，教师可高效开展教学。

1.4 二次函数与一元二次方程的联系 第1章 二次函数 优翼九下数学教学课件（XJ） (1) 一次函数 y＝x＋2 的图象与 x 轴的交点为( ， )， 一元一次方程 x＋2＝0 的根为________. (2) 一次函数 y＝－3x＋6 的图象与 x 轴的交点为( ， )， 一元一次方程 －3x＋6＝0 的根为_______. 问题一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点与一元一次 方程 kx＋b＝0 的根有什么关系？ 一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一 元一次方程 kx＋b＝0 的根. 复习引入 －2 0 －2 2 0 2 导入新课 那么二次函数与一元二次方程有什么关系呢，接下来我们一起探讨. 探究 问题1 画出二次函数 的图象： 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？ (-1,0) 与 (3,0) (-1,0) (3,0) 一 二次函数与 x 轴的交点与一元二次方程的根的关系 新课讲授 问题2 二次函数 y = x2-2x-3 与一元二次方程 x2-2x-3 = 0又有怎样的关系？ 当 x = -1时，y = 0，即 x2 - 2x -3 =0，也就是说，x = -1是一元二次方程 x2 -2x-3=0 的一个根； 同理，当 x = 3 时，y = 0，即 x2 - 2x - 3 = 0，也就是说，x = 3 是一元二次方程 x2 - 2x -3 = 0 的一个根. 知识要点 一般地，如果二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点( x1，0)，( x2，0 )，那么一元二次方程ax2 +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1，x2. 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 问题3 观察图象，完成下表： 抛物线与 x 轴交点个数 交点的 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 0个 2个重合的点 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2 -4ac＞0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac＜0 二次函数 y = ax2+bx+c 与 x 轴交点与一元二次方程 ax2+bx+c = 0 根的关系 知识要点 典例精析 例1 二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是(　　) A．k＜3 B．k＜3 且 k≠0 C．k≤3 D．k≤3 且 k≠0 D 1. 若二次函数 y = ax2 + b 的图象经过点( -2，0)，则关 于 x 的方程 a( x - 2)2 + b = 0 的实数根为 (　　) A．x1 = 0，x2 = 4 B．x1 = -2，x2 = 6 C．x1 = ，x2 = D．x1 = -4，x2 = 0 针对训练 A 例2 求一元二次方程 的根的 近似值(精确到 0.1). 分析：一元二次方程 x² -2x-1=0 的根就是抛物线 y = x² -2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 典例精析 利用二次函数确定一元二次方程的近似根 解：画出函数 y = x² -2x-1 的图象(如下图)，由图象可知，方程有两个实数根，一个在 -1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间. 先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是 -0.4 或 -0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有 y = x2 - 2x -1 的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -0.4 或 x = -0.5 都符合要求.但当 x = -0.4 时更为接近 0. 故 x1 ≈ -0.4. 同理可得另一近似值为 x2 ≈ 2.4. 例3 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅 球离地面的高度. 用二次函数与一元二次方程的关系 解决实际问题 典例精析 解：(1) 由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.1 m时，它离初始 位置的水平距离是 1 m或 5 m. (1) 当铅球离地面的高度为 2.1 m时，它离初始位置的水平距离是多少？ (2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.5 m时，它离初始位 置的水平距离是 3 m. (3) 由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. (3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？ 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 判断方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解 x 的范围是( ) A. 3＜ x ＜ 3.23 B. 3.23 ＜ x ＜ 3.24 C. 3.24 ＜ x ＜ 3.25 D. 3.25 ＜ x ＜ 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值: 当堂练习 2．若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1=3，则另一个解 x2= ； -1 y O x 1 3 3. 一元二次方程 3x2+x－10 = 0 的两个根是 x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y = 3x2+x－10 与 x 轴的交点坐标是 (-2，0)、 ( ，0) . 4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 位于（ ） A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D.第二、三、四象限 A 5. 已知二次函数 的图象，利用图象回 答问题： (1) 方程 的解是什么？ (2) x 取什么值时，y ＞ 0 ？ (3) x 取什么值时，y ＜ 0 ？ x y O 2 4 8 解：(1) x1=2，x2=4； (2) x＜2 或 x＞4； (3) 2＜ x ＜4. 6. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米． (1) 建立如图所示的平面直角坐 标系，问此球能否准确投中？ 解：(1) 由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为 A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中 B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为 y＝a(x－h)2＋k，将点 A、B 的坐标代入，可得y＝－ (x－4)2＋4. 将点 C 的坐标代入上式，得左边＝3， 右边＝－ (7－4)2＋4＝3， 左边＝右边， 即点 C 在抛物线上．所以此球一定能投中； (2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽 拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否 获得成功？ (2) 将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3. 因为 3.1＞3， 所以盖帽能获得成功． 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2+bx+c(a ≠ 0)，当 y 取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c = 0(a ≠0)，右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x轴的交点个数 一元二次方程根的情况 判别式 的符号 课堂小结 二次函数图象 由图象与 x 轴的交点位置， 判断方程根的近似值 一元二次方程的根 $