1.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象与性质，通过羽毛球运动轨迹和门禁平移情境导入，联系y=x²性质及平移旧知，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以探究活动推导函数表达式，培养推理意识，用表格对比a正负情况明晰性质，提升抽象能力，结合典例（如平移后求函数关系式）强化模型意识。助力学生直观理解知识，教师可高效开展教学。

1.2 二次函数的图象与性质 第1章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 优翼九下数学教学课件（XJ） 羽毛球的运动轨迹可以用y = ax2 的图象刻画,大家能回忆出二次函数 y = x2的性质吗？ 如果二次函数y = ax2 的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！ 情境引入 门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？ 导入新课 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' E F l' l 由于平移不改变图形的形状和大小，所以它仍是一条开口向上的抛物线 顶点为O'(1，0) 对称轴为直线l' 探究 问题1 把二次函数 的图象 E 向右平移 1个 单位，得到图形 F，图形 F 有什么特点？ 二次函数 y = a(x+h)² 的图象与性质 新课讲授 把点 P 的横坐标 a加上 1，纵坐标 不变，即点 Q 的坐标为 . 问题2 抛物线 F是哪个函数的图象呢？ 在抛物线 上任取一点 ，它在向右移 1 个单位后，P 平移后的点 Q 的坐标是什么？ 记 b = a+1，则 a = b-1. 从而点 Q 的坐标为 ， 这表明：点 Q 在函数 的图象上. 由此得出，抛物线 F 是函数 的图象. 4. 对称轴是过点 O' (1,0) 且与 y 轴平行的直线 l'. (直线 l' 是由横坐标为 1 的所有点组成的，我们把直线 l' 记作直线 x = 1). 1. 函数图象是一条开口向上的抛物线； 2. 顶点是 O'（1，0）. 问题3 函数 有哪些性质呢？ 5. 在对称轴左边，y 随 x 的增大而减小，在对称轴右边，y 随 x 的增大而增大. 3. 在 x = 1处，y 有最小值，且为 0. x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 O' F l' 类似地，可以证明二次函数 y = a(x-h)2的下列性质 y = a(x-h)2 a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x = h 直线 x = h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 增减性 当 x ＜ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＞ h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x ＞ h 时，y 随 x 的增大而减小；x ＜ h 时，y 随 x 的增大而增大. 知识要点 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3，0 ) 直线 x = 2 直线 x = -1 向下 向上 ( 2，0 ) ( -1，0) 练一练 问题4 如何画出 y = a(x- h)2 的图象呢？ 根据“列表、描点、连线”画出对称轴及图象在对称轴右边的部分，再利用对称性画出图象在对称轴左边的部分. 典例精析 例1 画函数 的图象. 解：抛物线的对称轴是 x = -1，顶点坐标是(-1，0). 列表：自变量 x 从顶点的横坐标 -1 开始取值. x ··· －1 0 1 2 ··· ··· ··· x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点和连线： 画出图象在对称轴右边的部分； 画出左边的部分； 即得图象. 例2 已知抛物线 y ＝ a(x－h)2 (a ≠ 0) 的顶点坐标是 (－2，0)，且图象经过点 (－4，2). (1) 求 a，h 的值； (2) 当 x 为何值时，函数值 y 随 x 增大而增大？ 解：(1)∵抛物线 y ＝ a(x－h)2 (a ≠ 0)的顶点坐标为(－2，0)，∴ h＝－2. 又∵抛物线 y ＝ a(x＋2)2 经过点 (－4，2)， ∴ a(－4＋2)2 ＝ 2. ∴ a ＝ . (2)当 x ＞ -2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 向右平移 1个单位 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向左平移 1个单位 x y -4 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 二次函数 y = a(x-h)2 的图象与 y = ax2 的图象的关系 知识要点 可以看作互相平移得到( h ＞ 0 ). 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y = a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y = a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y = ax2 典例精析 例3 抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位后经过点(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式. 解：二次函数 y＝ax2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为 y＝a(x－3)2， 把 x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝ ，∴平移后二次函数关系式为 y＝ (x－3)2. 方法归纳：根据抛物线左右平移的规律，向右平移 3 个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 1. 填空： (1) 的对称轴是_____，顶点坐标是______. x = 5 (5，0) (2) y = -3(x+2)2的对称轴是 ，顶点坐标是__ ___. x = -2 (-2，0) (3) 抛物线 y= -2(x+3)2是把抛物线 沿 x 轴向＿＿ 　　平移 个单位得到的． 　　它的开口向 ，对称轴是 ， 　　顶点坐标是 ， 　　当 x = 时，y有最 值，值是 . y = -2x2 左 3 下 （-3，0） x = -3 -3 大 0 当堂练习 2. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. y= -(x+3)2 或 y= -(x-3)2 3. 对于二次函数 y ＝ 9(x－1)2，下列结论正确的是 (　 ) 　A．y 随 x 的增大而增大 　B．当 x＞0时，y 随 x 的增大而增大 　C．当 x＝ －1时，y 有最小值 0 　D．当 x＞1时，y 随 x 的增大而增大 解析：因为 a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且 h ＝1，　　　　 顶点坐标为 (1，0)， 所以当 x＞1时，y 随 x 的增大而增大．故选Ｄ. D 4 . 若（- ，y1）（ - ，y2）（ ，y3）为二次函数 y = (x-2)2 图象上的三点，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系为_______________. y1 ＞y2 ＞ y3 5. 向左或向右平移函数 y＝－　x2 的图象，能使得到的新的图象过点 (－9，－8) 吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 解：能，理由如下： 设平移后的函数为 y ＝－　(x－h)2， 将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－　(－9－h)2， 所以 h＝－5或 h＝－13， 所以平移后的函数为 y ＝－　(x＋5)2 或 y ＝－　(x＋13)2. 即抛物线的顶点坐标为 (－5，0) 或 (－13，0)， 所以应向左平移 5 或 13 个单位． 二次函数 y = a(x - h)2 的图象及性质 图象性质 对称轴是 x = h； 顶点坐标是 (h，0)； a 的符号决定开口及增减性. 左右平移 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 课堂小结 $