1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2(a>0)\)的图象与性质，通过复习一次函数、反比例函数图象导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已知函数自然过渡到二次函数的探究。 其亮点是以合作探究为主线，通过列表描点画\(y=x^2\)图象，结合对称性分析性质，培养几何直观与推理意识。典例精析采用代入法、图象法等多方法解题，发展数学思维与表达能力。当堂练习涵盖概念辨析、图象应用等，助力学生巩固知识，教师可借结构化流程提升教学效率。

1.2 二次函数的图象和性质 第1章 二次函数 第1课时 二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质 优翼九下数学教学课件（XJ） 1. 一次函数 y = kx+b (k ≠ 0) x y o b<0 b>0 b=0 x y o b<0 b>0 b=0 复习引入 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ 导入新课 2. 反比例函数 0 x y 画出 y=x2 的图象. 合作探究 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取0 和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值. 二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质 新课讲授 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y) 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y y = x2 的图象关于 y 轴对 称，y轴就是它的对称. -3 3 o 3 6 9 x y 图象在 y 轴右边的部分，函数 值随自变量取值的增大而增大， 简称为“右升”. A A' B B' 问题1：观察图象，点 A 和点 A' ，点 B 和点 B' ，…，它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？ 问题2：从图还可看出，y 轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？ 3.连线：再用一条光滑曲线把原点和 y 轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在 y 轴左边的部分（把 y 轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 y = x2 的图象. 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 函数 y = x2 性除了具有关于 y 轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？ 议一议 x o y=x2 y 1. y＝x2 的图象是一条曲线; 2. 开口向上; 3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0); 4. x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简称“左降”； 5. 当 x=0时，函数值最小，且为0． 例1 已知点(-1，y1)，(-3，y2)都在函数 y=x2 的图象上，则____________. 典例精析 y1＜y2 例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数 y＝x2 的图象上，试写出 y1、y2、y3 的大小关系． 解：方法一：把 x ＝ －3， ，1，分别代入 y＝x2 中， 得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1＞y3＞y2； 方法三：∵该图象的对称轴为 y 轴，a ＞ 0， ∴在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大， 而点(－3，y1)关于y 轴的对称点为(3，y1)． 又∵3＞ ＞1，∴y1＞y3＞y2. 方法二：如图，作出函数 y ＝ x2 的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知 y1 ＞ y3 ＞ y2 . 已知 是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 k＝ . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0，x 的指数等于 2. 又因当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，即说明二次项的系数大于0. 因此， 解得 k＝2. 2 针对训练 解：分别列表： x 0 1 2 3 4 ··· ··· x 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· 0 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点，连线 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 问题 二次函数 开口大小与 a 的大小有什么关系？ 当a＞0时，a的绝对值越大，开口越小. 1. 二次函数 y = 2x2 的图象一定经过 （ ） A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 2. 如右图，观察函数 y = (k-1)x2 的图象,则 k 的取值范围是 . O x y k > 1 A 当堂练习 3. 若抛物线 y = ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则 a 的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）与对称轴的交点是 ，该点是图象 上的最 值 . （4）若 A（x1，y1)，B(x2，y2) 在这条抛物线上，且 x1 < x2 <0，则 y1 y2. 2 y 轴 向上 （0，0） 小 > 4.已知 y ＝ (k＋2)xk2＋k 是二次函数． (1)求 k 的值； (2)画出函数的图象． 解：(1) ∵ y ＝ (k＋2)xk2＋k 为二次函数， ∴ k＋2 ≠ 0，k2＋k ＝ 2，解得 k＝1； (2) 当 k ＝ 1 时，函数的表达式为 y ＝ 3x2，用描点法画出函数的图象．列表： x 0 1 … y＝3x2 0 3 … 描点：(0，0)，( ， )，(1，3)． 连线：用光滑的曲线按 x 的从小到大的顺序连接各点，根据对称性做出另一部分，图象如图所示． 5. 直线 y=2x+3 与抛物线 y = ax2 交于 A、B 两点，已知 A 点的横坐标是 3，求 A、B 两点的坐标及抛物线的解析式． 解：∵直线 y = 2x+3与抛物线 y = ax2 交于 A、B 两点且 A 点的横坐标是 3， ∴点 A 的纵坐标 y = 2×3+3=9，∴点 A 的坐标为 (3，9)，将点 A 的坐标代入 y = ax2 得：a = 1. ∴抛物线的解析式为 y = x2. 解得： 或 ∴点 B 的坐标为 (-1，1)． 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 先画对称轴一边的部分，再根据对称性画出另一边 图象 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 与对称轴的交点 增减性 课堂小结 $