1.7 正方形（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

1.7　正方形

1.掌握正方形的性质和判定以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系．

2.能正确运用正方形的性质及判定进行简单的计算、推理、论证．

3.渗透从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想方法．

4.感受数学来源于生活，养成科学、严谨的思维习惯．

重点：正方形的性质与判定．

难点：正方形的性质与判定的灵活运用．

一、情境导入

　　做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

二、合作探究

探究点一：正方形的性质

【类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明

如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F．

　　（1）求证：BE=CF；

　　（2）求BE的长．

　　解析：（1）由角平分线的性质可得到BE=EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，可证明BE=CF；

　　（2）设BE=x，在△CEF中可表示出CE，由BC=1，可列出方程，可求得BE．

　　（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°．∵EF⊥AC，∴∠EFA=90°．∵AE平分∠BAC，∴BE=EF．又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=45°．∴∠FEC=∠FCE．∴EF=FC．∴BE=CF．

　　（2）解：设BE=x，则EF=CF=x．在Rt△CEF中，CE==x．∵BC=1，∴x＋x=1，解得x=－1，即BE的长为－1.

　　方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．

【类型二】 利用正方形的性质求角度或证明

在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．

　　（1）求证：△AEB≌△DEC；

　　（2）当EB=BC时，求∠AFD的度数．

　　解析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=CD，每一个角都是直角可得∠BAD=∠ADC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=EF=DE=DF，根据等边对等角可得∠EAD=∠EDA，再求出∠BAE=∠CDE，然后利用“边角边”证明即可．

　　（2）根据全等三角形对应边相等可得EB=EC，再求出△BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC=60°，然后求出∠ABE=30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE，然后根据等边对等角可得∠AFD=∠BAE．

　　（1）证明：在正方形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°．∵点E为DF的中点，∴AE=EF=DE=DF．∴∠EAD=∠EDA．∵∠BAE=∠BAD－∠EAD，∠CDE=∠ADC－∠EDA，∴∠BAE=∠CDE．在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（SAS）．

　　（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴EB=EC．∵EB=BC，∴EB=BC=EC．∴△BCE是等边三角形．∴∠EBC=60°．∴∠ABE=90°－60°=30°．∵EB=BC=AB，∴∠BAE=（180°－30°）=75°．又∵AE=EF，∴∠AFD=∠BAE=75°．