1.5.2 矩形的判定（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

1.5.2　矩形的判定

1.理解并掌握矩形的判定方法．

2.使学生能运用矩形的定义、判定等知识，解答简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．

3.经历探索矩形判定定理的过程，发展学生实践探索的意识； 掌握几何分析思路和方法．

4.培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自实践的需要．

重点：矩形的判定定理及推论．

难点：矩形判定定理的证明方法及运用．

一、情境导入

　　我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？

　　矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：

　　1.两条对角线相等且互相平分；

　　2.四个内角都是直角．

　　这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？

二、合作探究

探究点一：有一角是直角的平行四边形是矩形

已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．

　　解析：首先利用等边对等角性质得出∠B=∠ACB；再根据外角和外角平分线性质得出∠FAE=∠ACB，进而得到AE∥CD，即可推出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质推出四边形ADCE是平行四边形，即可推出四边形ADCE是矩形．

　　证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠ACB，BD=DC．∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE=∠EAC．∵∠B＋∠ACB=∠FAE＋∠EAC，∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC．∴AE∥CD．又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形．∴AE平行且等于BD．又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC．故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．

　　方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平行四边形的判定得出四边形AEDB、四边形ADCE是平行四边形是解题的关键．

探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形

如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN．

　　求证：四边形NDMB为矩形．

　　解析：首先由平行四边形ABCD可得OA=OC、OB=OD；若ON=OB，那么ON=OD；而CM=AN，即ON=OM，由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证．

　　证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，OD=OB．∵AN=CM，ON=OB，∴ON=OM=OD=OB．∴四边形NDMB为平行四边形，MN=BD．∴平行四边形NDMB为矩形．

　　方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．

探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形

如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．

　　解析：本题的垂直关系较多，所以利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明比较简便．