2.1 第1课时 平面直角坐标系（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系的概念及应用，通过复习数轴上点的位置引入，结合教室找学生的有序实数对实例，过渡到图书馆位置的情境探究，搭建从一维到二维定位的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，发展数学眼光中的抽象能力和几何直观，通过合作探究与典例分析培养数学思维的推理意识，用坐标符号系统强化数学语言的模型表达。教学环节完整，小结系统归纳，助力学生理解知识联系，也为教师提供清晰教学流程。

2.1 平面直角坐标系 第2章 图形与坐标 第1课时 平面直角坐标系 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系； 2. 理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征；（重点） 3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点的位置确定横、纵坐标的符号．（难点） 在数轴上，如何确定一个点的位置呢? A 点记作 -2，B 点记作 3. 也就是说， 例如: 在数轴上一般用一个数据就可以表示一个点的位置． A B 复习导入 思考1 老师在教室里想找一个学生： 提示1：只给一个数据“第 4 组”，你能确定老师要找的学生是谁吗？ 提示2：给出两个数据“第 4 组，第 2 排”，你能确定是谁了吗？ 用有序实数对确定点的位置 1 探究新知 讲台 2 1 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 第2排 第4组 （组数，排数） 约定:组数在前，排数在后 （4,2） 上面的例子启发我们，为了确定物体在平面上的位置，可以用一对有顺序的实数（简称为有序实数对）来表示. 例如，小楠在教室里的位置可以简单地记作 (4，2). 想一想：(4，2) 与 (2，4) 是同一位置吗？ 小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗？ 【合作探究】周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边 50 米，人民西路北边 30 米 的位置. 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 认识平面直角坐标系与平面内点的坐标 2 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 4. 如果小明只说在“中山北路西边 50 米”，或只说在“人民西路北边 30 米”，你能找到吗？ 1. 小明是怎样描述图书馆的位置的？ 2. 小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？ 3. 如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？ 若将中山路与人民路看作两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系. x y o 30 20 10 20 10 -10 -20 -30 -40 -20 -50 -10 -70 -60 -50 -40 -30 -80 （-50， 北 西 30） 人民路 中山路 想一想 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O y 横轴与纵轴的单位长度通常取成一致，这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系，记作 xOy. 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 纵轴(通常称为 y 轴)；纵轴向上为正方向 横轴(通常称为 x 轴)；取横轴向右为正方向， 点 O 称为平面直角坐标系的原点. 知识要点 思考：如图，点 M 如何表示呢？ M 如图，若点 C 在 x 轴上表示－4，点 D 在 y 轴上表示 5，则 (－4，5) 就表示点 M 的位置，并称 (－4，5) 为 M 的坐标，其中 －4 称为横坐标， 5 称为纵坐标， 过点 M 作 x 轴的垂线，与 x 轴相交于点 C；再过点 M 作 y 轴的垂线，与y 轴相交于点 D. C D 找出坐标为（4，2）的点. 试一试 在 x 轴上找到表示 4 的点A，过点 A 作 x 轴的垂线， 这两条垂线的交点 P 就是坐标为（4，2）的点. P(4，2) A B 再在 y 轴上找到表示 2 的点 B， 过点 B 作 y 轴的垂线. 综上所述，在建立平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应. A B C E F D 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 -1 -2 -3 【答案】 A（-2，0） B（0，-3） C（3，-3） D（4，0） E（3，3） F（0，3） y O x 例1 写出下图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标. 典例精析 1.在直角坐标系中描出下列各点： A(4，3)， B(-2，3)， C(-4，-1)， D(2，-2). 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · B · A · D · C 练一练 平面直角坐标系中坐标的特征 3 Ⅳ Ⅰ Ⅱ Ⅲ x y O 1 2 3 4 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 第一象限 第二象限 第四象限 第三象限 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一，二，三，四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 活动1 观察平面直角坐标系，填写各象限内的点的坐标符号特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 交流：不看平面直角坐标系，你能迅速说出点 A(4，5)， B(-2，3)，C(-4，-1)，D(2.5，-2)，E(0，-4) 所在的象限吗？ 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在 x 轴的正半轴上 在 x 轴的负半轴上 在 y 轴的正半轴上 在 y 轴的负半轴上 0 + + - - 0 0 0 A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C E 活动2 观察直角坐标系，填写坐标轴上的点的坐标的特征: 交流：不看平面直角坐标系，你能迅速说出点 (-5，0)，(0，-5)，(3，0)，(0，3)，(0，0)所在的位置吗？你的方法又是什么？ 例2 (1) 如图，写出平面直角坐标系中点 A，B，C，D，E，F 的坐标. 解：(1) 由图可知，所求各点的坐标为： A (3，4)，B (－4，3)， C (－3，0)，D (－2，－4)， E (0，－3)，F (3，－3). 典例精析 A B C D E F 例2 (2) 在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. A(5，4)，B(－3，4)， C (－4 ，－1)，D(2，－4). 点 A 在第一象限， 点 B 在第二象限， 点 C 在第三象限， 点 D 在第四象限. A(5，4) B (-3，4) C (-4 ，-1) D (2，-4) 例3 设点 M(a，b) 为平面直角坐标系中的点． (1) 当 a > 0，b < 0 时，点 M 位于第几象限？ (2) 当 ab > 0 时，点 M 位于第几象限？ (3) 当 a 为任意有理数，且 b < 0 时，点 M 位于哪里？ 解：(1) 点M 在第四象限. (2) 可能在第一象限 (a > 0，b > 0) 或者在第三象限( a < 0，b < 0 ). (3) 可能在第三象限 (a < 0，b < 0 ) 或者第四象限 (a > 0，b < 0 ) 或者 y 轴负半轴上 (a = 0，b < 0)． 【练一练】在平面直角坐标系中，点 P (m，m－2) 在第一象限内，则 m 的取值范围是_______． 解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于 m 的一元一次不等式 组 解得 m＞2. m＞2 【方法总结】求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围． 例4 点 A (m＋3，m＋1)在 x 轴上，则 A 点的坐标为( ) A. (0，－2) B. (2，0) C. (4，0) D. (0，－4) 【解析】点 A(m＋3，m＋1)在 x 轴上，根据 x 轴上点的坐标特征知 m＋1＝0，求出 m 的值代入 m＋3 中即可． B 【方法总结】坐标轴上的点的坐标特点：x 轴上的点的纵坐标为 0，y 轴上的点的横坐标为 0. 根据点的坐标的特征确定字母取值，进而求出点的坐标． 【练一练】已知点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 1. 如果过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的正半轴上和 y 轴的负半轴上，那么点 P 的坐标是 ( ) A.(2，－1) B.(1，－2) C.(－2，－1) D.(1，2) 解析：由点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 1， 可知点 P 的纵坐标的绝对值为 2，横坐标的绝对值为 1；又因为过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的正半轴上和 y 轴的负半轴上，所以点 P 在第四象限，故其横坐标为正，纵坐标为负. 所以点 P 的坐标是 (1，－2)． B 本题的易错点有三处： ① 混淆距离与坐标之间的区别； ② 不知道“点 P 到 x 轴的距离”对应的是纵坐标的绝对值，“点 P 到 y 轴的距离”对应的是横坐标的绝对值； ③ 忽略坐标的符号出现错解．若本题只是已知点 P 到坐标轴的距离而无附加条件，则点 P 的坐标可能有四个. 归纳总结 1. 如图，点 A 的坐标为 ( ) A. ( -2，3) B. ( 3，-2) C . ( -2，-3) D . ( 2，3) x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 -1 -2 A A 课堂练习 2. 如图，点 A 的坐标为 ， 点 B 的坐标为 . x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 -1 -2 A B (-2，0) (0，-2) 3. 在 y 轴上的点的横坐标 是______，在 x 轴上的点 的纵坐标是______. 4. 点 M（- 8，12）到 x 轴 的距离是______，到 y 轴 的距离是______. 0 0 12 8 A（3，6） B（0，－8） C（－7，－5） D（－6，0） E（－3.6，5） F（5，－6） G（0，0） 第一象限 第三象限 第二象限 第四象限 y 轴负半轴上 x 轴负半轴上 原点 5.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？ 2. 已知 P 点坐标为（a + 1，a－3）. ①若点 P 在 x 轴上，则 a = ； ②若点 P 在 y 轴上，则 a = ； 3. 若点 P（x，y）在第四象限，| x | = 5，| y | = 4，则点 P 的坐标为 . 3 （5，-4） -1 1. 已知 a < b < 0，那么点 P（a，－b）在第 象限. 二 拓展练习 平面直角坐标系 定义：原点、坐标轴 点的坐标 定义与符号特征 描点 点的坐标的确定 课堂小结 $