1.6.1 菱形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦菱形的概念、性质及面积计算，通过图片视频情境导入，联系平行四边形与矩形知识，以“角特殊化得矩形”类比“边特殊化得菱形”，搭建清晰的知识支架。 其亮点是融合直观情境与动手操作，视频指导折纸剪切、折叠探究性质，培养几何直观与空间观念。性质证明逻辑严谨，例题练习结合性质应用，发展推理能力与模型意识。学生能直观理解、主动探究，教师可借助丰富资源提升教学效率。

1.6 菱形 第1章 四边形 1.6.1 菱形的性质 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题. （难点） 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 情境导入 欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧. 点击视频 开始播放→ 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 有一个角是直角 菱形的性质 1 探究新知 思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形 邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频： 点击视频 开始播放 → 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量 上有什么关系? 菱形的两条对角线有什么关系? 活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中 的图形(如图)，并回答以下问题： 问题1 菱形是轴对称图形吗? 如果是， 指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 求证：(1) AB = BC = CD =AD； (2) AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵AB = AD， ∴AB = BC = CD =AD. A B C O D 证一证 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. (2)∵AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分). 在等腰△ABD 中， ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC = ∠BAC. 同理可证∠DCA = ∠BCA， ∠ADB = ∠CDB，∠ABD = ∠CBD. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：互相平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 例1 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF. 证明：连接 AC. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF. 归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 证明：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB . ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC＝∠DAE.  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA . ∴AO＝BE . 例2 如图，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE，AE 交 BD 于 点O，且∠DAE = 2∠BAE，求证：OA = EB. A B C D O E 1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD 的周长是 (　　) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 C 2. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC，BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______. 第1题图 第2题图 6 cm 练一练 思考：菱形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？ 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 由于菱形是平行四边形，因此 O 填空:把图中的菱形ABCD作关于直线DB的轴对称，则 (1) 点 A 的像是______， 点 C 的像是_____， 点 D 的像是_____，点 B 的像是_____， (2) 边 AD 的像是 ，边 CD 的像是 ， 边 AB 的像边是 ，边 CB 的像是 . 点 C 点 A 边 CD 点 B 点 D 边 AD 边 CB 边 AB 想一想：你能得到什么结论？ 菱形是轴对称图形，两条对角 线所在直线都是它的对称轴. 菱形的面积 问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， 则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE. E 2 问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. A B C D O 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. ∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO + AC·DO = AC(BO + DO) = AC·BD. 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 例3 菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长度分别为 4 cm， 3 cm，如图所示，求菱形 ABCD 的面积和周长. 因此，菱形 ABCD 的周长为 2.5×4＝10 (cm). 典例精析 解：菱形 ABCD 的面积 在 Rt△ABO 中， 由勾股定理得 例4 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12， ∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12 ＝ 30. ∴S菱形ABCD＝ 4S△AOB＝ 4×30 ＝ 120. 又∵菱形两组对边的距离相等， ∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h. ∴13h＝120，得 h＝ . 菱形的面积计算有如下方法： (1) 一边长与对边的距离(即菱形的高)的积； (2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； (3) 两条对角线长度乘积的一半． 归纳总结 3.如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　） A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm B 练一练 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 C 2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则 △ABD的周长等于 （　　） A. 18 B. 16 C. 15 D. 14 B 课堂练习 3. 根据下图填一填： （1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，那么它的边长 是 ______. （2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝ _______. （3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm， 则菱形的边长是_______. 3 cm 30° A B C O D 5 cm (4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角线长为 11 cm，菱形的周长为_ _____. 44 cm (5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线长的比为 1∶2 ， 那么菱形最短的那条对角线长为_______. 8 cm A B C O D 4.如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对 角线 BD 的长 为10 cm. 求：(1) 对角线 AC 的长度； (2) 菱形 ABCD 的面积. 解：(1) ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠AED = 90°， (2)菱形ABCD的面积 ∴AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm). D B C A E 5. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E． 求证：∠AFD = ∠CBE． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CB = CD， CA 平分∠BCD． ∴∠BCE = ∠DCE． 又 CE = CE， ∴△BCE≌△DCE（边角边）． ∴∠CBE = ∠CDE． ∵在菱形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠AFD = ∠EDC. ∴∠AFD = ∠CBE． A D C B F E 6. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B 作BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E. (1) 求 OC 的长； 解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 在 Rt△OCD 中， 由勾股定理得 OC＝4 cm. 解：(2)∵CE∥DB，BE∥AC， ∴四边形 OBEC 为平行四边形. 又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°， ∴平行四边形 OBEC 为矩形. ∵OB＝OD＝3 cm， ∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12 (cm2)． 6.如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过点 C 作 CE∥DB，过点 B作 BE∥AC，CE 与 BE 相交于点 E. (2)求四边形 OBEC 的面积． 菱形的性质 菱形的性质 有关 计算 边 1. 周长 = 边长的四倍 2. 面积 = 底×高 = 两条对角线 乘积的一半 角 对角线 1. 两组对边平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 是中心对称图形和轴对称图形 对称性 课堂小结 $