1.5.2 矩形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦八年级下册矩形的判定，涵盖定义及“三个角是直角的四边形”“对角线相等的平行四边形”两个判定定理。通过复习矩形定义与性质，结合工人师傅用工具判断矩形的生活问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过定理猜想与证明发展推理能力（数学思维），用几何语言规范表达判定过程（数学语言）。例题练习结合图形应用定理，课堂小结系统梳理方法，助力学生提升逻辑推理与应用能力，也为教师提供结构化探究式教学资源。

1.5 矩形 第1章 四边形 1.5.2 矩形的判定 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 学习目标 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 复习导入 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 有三个角是直角的四边形是矩形 类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 1 探究新知 问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立 问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：由于∠A＝∠B＝∠C＝90°， 所以∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝90°. 因此AD∥BC，AB∥CD. 从而四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠A＝90°， A B C D 证一证 由矩形的定义得， 四边形 ABCD 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 归纳总结 矩形的判定定理： 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 例1 如图， □ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB + ∠ABC = 180°. ∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线， F A B D C H E G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证∠AED = ∠EHG = 90°. ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴ ∠BAE + ∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC = 90°. 例2 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是 △ABC 外角 ∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ 90°. 证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC ＝ ∠CEA ＝ 90°. ∴四边形 ADCE 为矩形． 1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 练一练 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形 思考 你能证明这一猜想吗？ 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 2 证明：由于 OA = OC，OB = OD， 所以四边形 ABCD 是平行四边形， 从而 AB = DC，AB∥DC. 又 AC = BD，BC = CB， 所以△ABC≌△DCB (边边边)，从而∠ABC =∠DCB. 又由 AB∥DC 得，∠ABC +∠DCB = 180°， 已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线， AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形. A B C D 证一证 于是 ∠ABC = ×180° = 90°. 因此，平行四边形 ABCD 是矩形. O 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中， ∵AC = BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. A B C D 知识要点 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 　 例3 如图，在 　ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC = AC， OB=OD= BD. 又∵OA = OD， ∴AC = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 例3 如图，在□ABCD 中，它的两条对角线相交于点O. (1) 如果□ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？ 　 A　 B　 C　 D　 O 解：(1)因为□ABCD 是矩形， 所以 AC 与 DB 相等且互相平分， 于是 OB = DB = AC = OC， 所以△OBC 是等腰三角形. (2) 如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ABCD 是矩形吗？ 解：(2) 因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC， 所以 AC = 2OC = 2OB = BD. 因此，□ABCD 是矩形. 　 A　 B　 C　 D　 O 例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 上的一点，且 AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD (矩形的对角线相等)， AO＝BO＝CO＝DO (矩形的对角线互相平分). ∵ AE＝BF＝CG＝DH， ∴ OE＝OF＝OG＝OH. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∵EO＋OG＝FO＋OH，即 EG＝FH， ∴四边形 EFGH 是矩形. 3. 如图 ， ABCD中， ∠1 = ∠2 中. 此时四边形 ABCD是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，DO = BO. 又∵∠1 = ∠2， ∴ AO = BO.∴ AC = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. 练一练 1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形； × × × × √ √ √ √ （8）一组对角互补的平行四边形是矩形. 探究新知 2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF，MN 于 A，C 两点，AB，CB，CD，AD 分别是∠EAC，∠MCA，∠ ACN，∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°， ∴∠ADC = 90°. 又∵△ABC 中，AB = 5，BC = 12，AC = 13， 满足 132 = 52 +122，即 ∴△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形． A B C D 4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 OA 到 点N，使 ON ＝ OB，再延长 OC 至 点M，使 CM ＝ AN .求证：四边形 NDMB 为矩形． 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB. ∴四边形 NDMB 为平行四边形，MN＝BD. ∴平行四边形 NDMB 为矩形． 5. 如图，△ABC 中，AB ＝ AC，AD 是 BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE∥AB 交 AE 于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形． 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠B＝∠ACB，BD＝DC. ∵AE 是∠BAC 的外角平分线， ∴∠FAE＝∠EAC. ∵∠B＋∠ACB ＝ ∠FAE＋∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC. ∴AE∥CD. 又∵DE∥AB. ∴四边形 AEDB 是平行四边形. ∴AE 平行且等于 BD. 又∵BD ＝ DC， ∴AE 平行且等于 DC， 故四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵∠ADC ＝ 90°， ∴平行四边形 ADCE 是矩形． 6. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点D 以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3 cm/s 的速度运动．点 P，Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1) 经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？ 解：设经过 x s，四边形 PQCD 为平行四边形， 即 PD＝CQ，所以 24－x＝3x， 解得 x＝6. 即经过 6 s，四边形 PQCD 是平行四边形. 能力提升： (2) 经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？ 解：设经过 y s，四边形 PQBA 为矩形， 即 AP＝BQ. ∴ y＝26－3y， 解得 y＝6.5. 即经过 6.5 s， 四边形 PQBA 是矩形． P Q 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 课堂小结 $