1.5.1 矩形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦矩形的性质，涵盖定义、四个角为直角、对角线相等等核心知识。通过生活实例（书本、课桌）和活动平行四边形教具演示，引导学生观察矩形与平行四边形的联系，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活实例，通过小组测量实物（橡皮擦、课本）猜想性质，结合逻辑证明培养“数学思维”，用几何语言规范表达性质体现“数学语言”。采用动手实践与推理结合的教学方法，帮助学生深化理解，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

1.5 矩形 第1章 四边形 1.5.1 矩形的性质 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与 联系.（重点） 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题.（重点、难点） 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点） 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 情境导入 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 你还能举出其他的例子吗？ 矩形 矩形的性质 活动 1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察. 1 探究新知 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 也称为长方形. 平行四边形不一定是矩形. 归纳总结 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 活动 2： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. (1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本，课桌，铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 证明：根据矩形的定义可知，四边形 ABCD 是平行四边形， 于是 AD∥BC，且 AB∥DC. 因此∠B = ∠D = 180°－∠A = 90°， ∠C =∠A = 90°. 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠A = 90°. 求证：∠A = ∠B =∠C = ∠D = 90°. 证一证 A B C D 由此得到矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角. 证明：如图，四边形 ABCD 是矩形，于是 AB = DC， 根据矩形性质定理1得， ∠ABC = ∠DCB = 90°. 又 BC = CB， 所以△ABC≌△DCB. 从而 AC = DB. A B C D O 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 由此得到矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等. 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 归纳总结 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = 4 cm，∠AOB = 60°，求 BC 的长. 解：因为四边形 ABCD 是矩形. 所以 OA = OB = AC. 又∠AOB = 60°， 所以△OAB 是等边三角形. 于是 AB = OA = 2 cm. 因为∠ABC = 90°， 所以在Rt △ABC 中， A B C D O 典例精析 例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE = AD， DF⊥AE ，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED = ∠ADE. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE = ∠DEC. ∴∠DEC = ∠AED. 又∵DF⊥AE， ∴DF = DC. 例3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在点 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD＝8，AB＝4，求△BED 的面积． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2 ＝ BE2， ∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2， 解得 x＝5，即 DE＝5. ∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 思考：矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？ 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 由于矩形是平行四边形，因此： O 做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， 下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C 练一练 2. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于 点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________. 　　　　　　　　　　　　　 3. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于点E，∠DAE∶ ∠BAE＝3∶1，求 ∠BAE 和 ∠EAO 的度数． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB＝90°， AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. ∴∠OAB＝∠ABE. 又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° A C 课堂练习 3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AO，AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm． 2.5 A B C D O E F 4. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E. (1) 求证：BD = BE； (2) 若∠DBC = 30° ， BO = 4，求四边形 ABED 的面积. A B C D O E (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD，AB∥CD. 又∵BE∥AC， ∴四边形 ABEC 是平行四边形. ∴AC = BE. ∴BD = BE. (2)解：∵在矩形 ABCD 中，BO = 4， ∴BD = 2BO = 2×4 = 8. ∵∠DBC = 30°， ∴CD= BD= ×8 = 4. ∴AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8. 在Rt△BCD 中， BC = ∴四边形 ABED 的面积= ×(4 + 8)× = . A B C D O E 5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD 于 F，求 PE + PF 的值. ∴ PE + PF = . ∴ AO·PE + DO·PF = 12， ∴S△AOD = S△DOC = S△AOB = S△BOC = S矩形ABCD= ×6×8 = 12. 能力提升： 解：连接 OP. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB = 90°，OA = OD = OC = OB. 在Rt△BAD 中，由勾股定理得 BD = 10， ∴AO = OD = 5， ∵S△APO + S△DPO = S△AOD. 即 5PE + 5PF = 24. D A B C O E P F 矩形的相关概念及性质 四个内角都是直角，对边相等 两条对角线互相平分且相等. 轴对称图形 有两条对称轴 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 课堂小结 $