第3章 专题6 一次函数与面积 [湖南热点]（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦一次函数与面积综合应用，以根题导入，通过求解直线表达式、确定交点坐标，逐步过渡到三角形及四边形面积计算，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于采用一题多法（如割补法、铅垂法）培养推理能力，方法总结形成“铅垂高×水平宽”的面积模型观念，针对训练巩固应用。帮助学生发展几何直观和应用意识，为教师提供系统教学资源提升教学效率。

2026春季学期 《学练优》·八年级数学下·XJ 第 3 章　一次函数 专题6　一次函数与面积 [湖南热点] [根题]如图，直线y＝x＋3交y轴于点A，交x轴于 点B，经过点(2，2)的直线交x轴于点C，交y轴于 点D，交直线AB于点E，已知点E的横坐标为1. (1)直线CD的表达式为 ⁠； y＝－2x＋6　 [根题]如图，直线y＝x＋3交y轴于点A，交x轴于 点B，经过点(2，2)的直线交x轴于点C，交y轴于 点D，交直线AB于点E，已知点E的横坐标为1. (2)求△EBC的面积； 解：(2)∵点E的横坐标为1，将x＝ 1代入y＝x＋3中， 得y＝4，∴E(1，4). 把y＝0代入y＝x＋3，得0＝x＋3， 解得x＝－3.∴B(－3，0).把y＝0 代入y＝－2x＋6， 得0＝－2x＋6， 解得x＝3.∴C(3，0).∴BC＝6. ∴S△EBC＝ BC·yE＝ ×6×4＝12. [根题]如图，直线y＝x＋3交y轴于点A，交x轴于 点B，经过点(2，2)的直线交x轴于点C，交y轴于 点D，交直线AB于点E，已知点E的横坐标为1. (3)求△ADE的面积. 解：(3)易知点D(0，6)，A(0，3)， 则AD＝3.∵E(1，4)， ∴S△ADE＝ AD·xE＝ ×3×1＝ . 解：(3)易知点D(0，6)，A(0，3)， 则AD＝3.∵E(1，4)， ∴S△ADE＝ AD·xE＝ ×3×1＝ . [变式1]一题多法求四边形AOCE的面积. 方法一：S四边形AOCE＝S△BCE－S△AOB. 解：S四边形AOCE＝S△BCE－S△AOB＝12－ ×3×3＝ . 解：S四边形AOCE＝S△BCE－S△AOB ＝12－ ×3×3＝ . 解：∵E(1，4)，C(3，0)， ∴EF＝4，OF＝1，CF＝2. 则S四边形AOCE＝S△CEF＋S梯形AEFO ＝ ×4×2＋ ×(4＋3)×1＝ . 解：∵E(1，4)，C(3，0)， ∴EF＝4，OF＝1，CF＝2. 则S四边形AOCE＝S△CEF＋S梯形AEFO ＝ ×4×2＋ ×(4＋3)×1＝ . 方法二：割补法 过点E作EF⊥x轴于点F，则 S四边形AOCE＝S△CEF＋S梯形AEFO. [变式2]一题多法如图，若点M(m，2)在直线CD 上，求△BEM的面积. 方法一：S△BEM＝S△BCE－S△BCM. 解：∵直线CD的表达式为y＝－2x＋6， 点M(m，2)在直线CD上，∴－2m＋6＝2， 解得m＝2.即点M的坐标为(2，2). S△BEM＝S△BCE－S△BCM＝12－ ×6×2＝6. 解：∵直线CD的表达式为y＝－2x＋6， 点M(m，2)在直线CD上，∴－2m＋6＝2， 解得m＝2.即点M的坐标为(2，2). S△BEM＝S△BCE－S△BCM＝12－ ×6×2＝6. 方法二：铅垂法 如图，过点E作EN∥y轴交直线 BM于点N，则S△BEM＝S△BEN＋S△MEN. 解：∵B(－3，0)，M(2，2)， 易得直线BM的表达式为y＝ x＋ . 当x＝1时，y＝ ＋ ＝ .即点N的坐标为(1， ). ∴EN＝4－ ＝ . ∴S△BEM＝S△BEN＋S△MEN＝ × ×4＋ × ×1 ＝6. 解：∵B(－3，0)，M(2，2)， 易得直线BM的表达式为y＝ x＋ . 当x＝1时，y＝ ＋ ＝ .即点N的坐标为(1， ). ∴EN＝4－ ＝ . ∴S△BEM＝S△BEN＋S△MEN ＝ × ×4＋ × ×1＝6. 方法总结 S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ CD·AE＋ CD·BF＝ CD·(AE＋BF)＝ CD·｜xB－xA｜，即S三角形＝ ×铅垂高×水平宽. 针对训练 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y ＝kx＋b经过点A(2，4)和点B(4，2)，连接OA， OB. (1)求直线l的表达式； 2 3 4 1 解：(1)把A(2，4)，B(4，2)分别代 入y＝kx＋b 得 解得 ∴直线l的表达式为y＝－x＋6. 解：(1)把A(2，4)，B(4，2)分别代入y＝kx＋b 得 解得 ∴直线l的表达式为y＝－x＋6. 2 3 4 1 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y ＝kx＋b经过点A(2，4)和点B(4，2)，连接OA， OB. (2)求△AOB的面积. 解：(2)当y＝0时，－x＋6＝0，解得x＝6， ∴直线y＝－x＋6与x轴的交点坐标为(6，0). ∴△AOB的面积＝ ×6×4－ ×6×2＝6. 2 3 4 1 2. (2025·长沙期中)如图，直线y1＝x－4与x轴交于 点A，与y轴交于点B，直线y2＝kx＋b与y轴交于 点C(0，4)，与x轴交于点D，与直线y1＝x－4交于 点E(m，－2). (1)求m的值； 解：(1)把E(m，－2)代入直线y1＝ x－4， 得m－4＝－2.解得m＝2. 解：(1)把E(m，－2)代入直线y1＝x－4， 得m－4＝－2.解得m＝2. 2 3 4 1 2. (2025·长沙期中)如图，直线y1＝x－4与x轴交于 点A，与y轴交于点B，直线y2＝kx＋b与y轴交于 点C(0，4)，与x轴交于点D，与直线y1＝x－4交于 点E(m，－2). (2)求△ACE的面积. 2 3 4 1 解：(2)∵直线y2＝kx＋b与y轴交 于点C(0，4)， 与y1交于点E(2，－2)， ∴ 解得 ∴y2＝－3x＋4. 2 3 4 1 把y＝0代入y2＝－3x＋4可求得点D的 坐标为(，0). 把y＝0代入y1＝x－4可求得点A的坐标为(4，0)， ∴AD＝OA－OD＝4－ ＝ . ∴S△ACE＝S△ACD＋S△AED ＝ × ×4＋ × ×2＝ × ×6＝8. 2 3 4 1 3. 如图，直线y＝ x＋1经过点A(1，m)，B(4， n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC的面积. 2 3 4 1 解：如图，作CM⊥x轴于M，交AB于D. ∵点C的坐标为(2，5)，∴D的横坐标为2. 把x＝2代入直线y＝ x＋1，得y＝ ×2＋1＝2， ∴D(2，2).∴CD＝5－2＝3. ∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ ×3×(4－1)＝ . 解：如图，作CM⊥x轴于M，交AB于D. ∵点C的坐标为(2，5)，∴D的横坐标为2. 把x＝2代入直线y＝ x＋1，得y＝ ×2＋1＝2， ∴D(2，2).∴CD＝5－2＝3. ∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD ＝ ×3×(4－1)＝ . 2 3 4 1 4. 如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过 点A(－1，2)，B(m，－2)，与x轴交于点C(－2， 0)，连接OA，OB. (1)求该一次函数的表达式和m的值. 2 3 4 1 解：(1)∵点A(－1，2)，C(－2，0) 在一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象上， ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为y＝2x＋4. ∵B(m，－2)在函数的图象上， ∴2m＋4＝－2，解得m＝－3. 解：(1)∵点A(－1，2)，C(－2，0) 在一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象上， ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为y＝2x＋4. ∵B(m，－2)在函数的图象上， ∴2m＋4＝－2，解得m＝－3. 2 3 4 1 4. 如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过 点A(－1，2)，B(m，－2)，与x轴交于点C(－2， 0)，连接OA，OB. (2)若点P为y轴上的点，是否存在点P，使得S△OBP ＝S△AOB？若存在，请求出所有符合条件 的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2 3 4 1 解：(2)存在. ∵A(－1，2)，B(－3，－2)，C(－2，0)， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ ×2×2＋ ×2×2＝2＋2＝4. 当点P在y轴上时，设P(0，n)， 则S△OBP＝ ｜n｜×3＝4，解得n＝± . ∴点P的坐标为(0， )或(0，－ ). 则S△OBP＝ ｜n｜×3＝4，解得n＝± . ∴点P的坐标为(0， )或(0，－ ). 2 3 4 1 $